傅里叶变换的推导

三角函数形式：

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[~a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)~] \tag{1}$

$a_{0}=\frac{2}{T} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) d t \tag{2}$

$a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt \tag{3}$

$b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt \tag{4}$

欧拉公式

先说说虚数这个概念
关于虚数的意义：
  虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?

  这里有一条数轴，在数轴上有一个线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了3，而当它乘以-1的时候，就变成了-3，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

  我们知道乘-1其实就是乘了两次$i$使线段旋转了180度，那么乘一次$i$呢——答案很简单——旋转了90度。

  同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。

通过欧拉公式
$e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)$

欧拉公式关键的作用：将正弦波统一成了简单的指数形式。

$cos(\theta)$和$\sin (\theta)$可以变形为：
$\begin{array}{c} \cos (\theta)=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2} \end{array}$

$\sin (\theta)=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}=-i \cdot \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}$

待入$(1)$式得
$\begin{aligned} f(t) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2}-i b_{n} \frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2}\right] \\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_{n}-i b_{n}}{2} e^{i n \omega t}+\frac{a_{n}+i b_{n}}{2} e^{-i n \omega t}\right] \tag{5} \end{aligned}$

将$(2),(3),(4)$待入得

$\begin{aligned} \frac{a_{n}-i b_{n}}{2} &=\frac{1}{T}\left[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) \cos (n \omega t) d t-i \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) \sin (n \omega t) d t\right] \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)[\cos (n \omega t)-i \sin (n \omega t)] d t \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)\left[\frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2}-i \cdot(-i) \cdot \frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2}\right] d t \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d t \end{aligned}$

同理可得$\frac{a_{n}+i b_{n}}{2}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{i n w t} d t$

将两式代入到(5)中解得：
$\begin{aligned} f(t) &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) d t+\frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty}\left[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t} d t \cdot e^{i n \omega t}+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{i m u t} d t \cdot e^{-i n \omega t}\right] \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) d t+\frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t t} d t \cdot e^{i n \omega t}+\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{-1} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t} d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d t \cdot e^{i n \omega t} \tag{6} \end{aligned}$

令$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d t$公式$(6)$可以简化为$f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty} c_{n} \cdot e^{i n w t}$

$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{(b-a) i}{n}\right)$

令$F\left(\omega_{x}\right)=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i w_{x} t} d t$，代入$(6)$式，得

$\begin{aligned} f(t) &=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega_{x} t} d t \cdot e^{i \omega_{x} t} \\ &=\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[F\left(\omega_{x}\right) \cdot e^{i \omega_{x} t}\right] \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F\left(\omega_{x}\right) \cdot e^{i \omega_{x} t} d \omega_{x} \end{aligned}$

我们得到傅里叶变换
$F\left(\omega_{x}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i w_{x} t} d t$

反傅里叶变换

$f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F\left(\omega_{x}\right) \cdot e^{i \omega_{x} t} d \omega$

来源：CSDN

作者：小啊菜啊

链接：https://blog.csdn.net/qq_30763385/article/details/104626991