拉格朗日插值法

$n$个拥有不同横坐标的点可以确定一个$n-1$次多项式$q(x)$，假设已知点的横坐标构成集合$S$（该集合满足$|S|\geq n$），并已知这些点的函数值$\{q(i)\}_{i\in S}$.

• 我们可计算任意一点$x$在$q(x)$上的函数值。$q(x)$可以看成已知点的函数值按某种权重加和而成，而权重系数由$x$和已知点的横坐标确定，与已知点的函数值无关。设$S$中一个点的横坐标为$i$，该点的权重系数定义为拉格朗日系数$\Delta_{i,S}(x)=\prod\limits_{j\in S,j\neq i}\frac{x-j}{i-j}$，所以该点为$q(x)$贡献的值为$q(i)\cdot\Delta_{i,S}(x)$.
• $q(x)$可表示为$q(x)=\sum\limits_{i\in S}q(i)\cdot\Delta_{i,S}(x)$.

特别地，令$x=0$可得该多项式的常数项$q(0)$。

• $q(0)$可以看成已知点的函数值按某种权重加和而成，而权重系数由已知点的横坐标确定，与已知点的函数值无关。设$S$中一个点的横坐标为$i$，该点的权重系数为$\Delta_{i,S}(0)=\prod\limits_{j\in S,j\neq i}\frac{0-j}{i-j}=\prod\limits_{j\in S,j\neq i}\frac{j}{j-i}$，所以该点为$q(0)$贡献的值为$q(i)\cdot\Delta_{i,S}(0)$.
• $q(0)$可表示为$q(0)=\sum\limits_{i\in S}q(i)\cdot\Delta_{i,S}(0)$.

对于一个门限$d$，我们常使用随机$d-1$次多项式$q(\cdot)$隐藏随机秘密值$s$，该多项式满足$q(0)=s$.

来源：CSDN

作者：LanseonPKU

链接：https://blog.csdn.net/lanseon/article/details/104515465