数学分析笔记5:导数的应用

ⅰ亾dé卋堺 提交于 2020-02-11 21:04:29

泰勒公式

带佩亚诺余项的泰勒公式

微分的意义是用线性函数去逼近一个复杂的函数。实际上,我们还可以引入更高次的多项式取逼近一个复杂的函数,这就是Taylor公式表达的观点。
定理5.1f(x)f(x)x0x_0的某个邻域上有直到n1n-1阶导数,并且在x0x_0具有nn阶导数,则f(x)=k=0nf(k)(x0)k!(xx0)k+o((xx0)n) f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} {(x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n)

证:
首先,n=1n=1时结论显然成立。
假设,如果函数f(x)f(x)x0x_0处有直到mm阶导数,有f(x)=k=0mf(k)(x0)k!(xx0)k+o((xx0)m) f(x) = \sum_{k=0}^{m}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} {(x-x_0)^k} +o((x-x_0)^m) 如果函数f(x)f(x)x0x_0处有直到m+1m+1阶导数,那么其一阶导数f(1)f^{(1)}x0x_0处有直到mm阶导数,有f(1)(x)=k=0mf(k+1)(x0)k!(xx0)k+o((xx0)m) f^{(1)}(x)= \sum_{k=0}^{m}\frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!} {(x-x_0)^k} + o((x-x_0)^m) 由洛必达法则:limxx0f(x)k=0m+1f(k)(x0)k!(xx0)k(xx0)m+1=limxx0f(1)(x)k=1m+1f(k)(x0)(k1)!(xx0)k1(m+1)(xx0)m=limxx0f(1)(x)k=0mf(k+1)(x0)k!(xx0)k(m+1)(xx0)m=limxx0o((xx0)m)(xx0)m=0 \lim_{x\to x_0}{ \frac{ f(x) - \sum_{k=0}^{m+1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k } {(x-x_0)^{m+1}} } =\lim_{x\to x_0}{ \frac{ f^{(1)}(x)-\sum_{k=1}^{m+1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1} } {(m+1)(x-x_0)^m} }\\ =\lim_{x\to x_0}{ \frac{ f^{(1)}(x)-\sum_{k=0}^{m}\frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k } {(m+1)(x-x_0)^m} } =\lim_{x\to x_0}{ \frac{ o((x-x_0)^m) } {(x-x_0)^m} }=0 由数学归纳法就可以证得结论

现在,我们来推导一些初等函数的泰勒公式:
例5.1ex=k=0nxkk!+o(xn) e^x = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} +o(x^n)

证:
由于f(n)(x)=exf^{(n)}(x) = e^x,因此,f(n)(0)=1f^{(n)}(0)=1,再应用定理5.1

例5.2ln(1+x)\ln(1+x)x=0x=0处的Taylor公式

解:
f(x)=ln(1+x)f(x)=\ln(1+x),则f(1)(x)=11+xf^{(1)}(x) = \frac{1}{1+x}f(2)(x)=1(1+x)2f^{(2)}(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}f(3)(x)=21(1+x)3f^{(3)}(x) = 2\frac{1}{(1+x)^3}f(4)(x)=61(1+x)4f^{(4)}(x) = -6\frac{1}{(1+x)^4}猜想:f(k)(x)=(1)k1(k1)!(1+x)kf^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k},用数学归纳法证明,如果f(k)(x)=(1)k1(k1)!(1+x)kf^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k},那么f(k+1)(x)=(1)k1(k1)!(k)(1+x)k+1=(1)kk!(1+x)k+1f^{(k+1)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)! (-k)}{(1+x)^{k+1}}=\frac{(-1)^k k!}{(1+x)^{k+1}}有归纳法,等式成立。
因此,f(k)(0)=(1)k1(k1)!(k1)f^{(k)}(0) = {(-1)^{k-1}(k-1)!}(k\ge 1),应用定理5.1,有ln(1+x)=k=1n(1)k1xkk+o(xn) \ln(1+x) = \sum_{k=1}^{n}{\frac{ (-1)^{k-1} x^k }{k}} + o(x^n)

例5.3(1+x)α(1+x)^{\alpha}x=0x=0处的Taylor公式

解:
f(x)=(1+x)αf(x) = (1+x)^\alpha,求各阶导数:f(1)(x)=α(1+x)α1f^{(1)}(x) = \alpha (1+x)^{\alpha-1}f(2)(x)=α(α1)(1+x)α2f^{(2)}(x) = \alpha (\alpha - 1) (1+x)^{\alpha -2}f(3)(x)=α(α1)(α2)(1+x)α3f^{(3)}(x) = \alpha (\alpha - 1)(\alpha -2) (1+x)^{\alpha -3}我们可以将排列数的定义扩张一下,定义Aαk=t=0k1(αt)A_\alpha^k = \prod_{t=0}^{k-1}{(\alpha - t)},容易看出,当α\alpha是正整数时,该数和组合数学中的排列数的定义是一致的。
猜想:f(k)(x)=Aαk(1+x)αkf^{(k)}(x) = A_\alpha^k (1+x)^{\alpha - k},再用数学归纳法,可以证明该等式成立。于是f(k)(0)=Aαkf^{(k)}(0) = A_\alpha^k,我们再扩充一下组合数的定义:Cαk=Aαkk!C_\alpha^k = \frac{ A_\alpha^k }{k!},容易验证,α\alpha是正整数时,这个数就是组合数学上的正整数,就可以得到Taylor公式:(1+x)α=k=0nCαkxk+o(xn) (1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{n} { C_\alpha^k x^k }+o(x^n) 这个形式实际上就是α\alpha是任意实数情形下的二项式定理。

例5.4arctanx\arctan{x}x=0x=0处的Taylor公式

解:
实际上,我们已经求过了f(x)=arctanxf(x)=\arctan{x}的高阶导数:f(k)(x)=(k1)!cosk(arctanx)sin(karctanx+kπ2) f^{(k)}(x) = (k-1)!\cos^k(\arctan{x})\sin(k\arctan{x}+\frac{k\pi}{2}) 因此,f(k)(0)=(k1)!sin(kπ2)f^{(k)}(0)=(k-1)!\sin(\frac{k\pi}{2}),因此,arctanx\arctan{x}的Taylor公式为arctanx=k=0n(sinkπ2)xkk+o(xn) \arctan{x} = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{(\sin{ \frac{k\pi}{2} })x^k}{k} }+o(x^n)

例5.5 sinx=k=0n(sinkπ2)xkk!+o(xn) \sin{x} = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{ (\sin{\frac{k\pi}{2}}) x^k } {k!} }+o(x^n)cosx=k=0n(coskπ2)xkk!+o(xn) \cos{x} = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{ (\cos{\frac{k\pi}{2}}) x^k } {k!} }+o(x^n)

定理5.2(Taylor公式的唯一性) xx0x\to x_0时,若f(x)=k=0nak(xx0)k+o((xx0)n)=k=0nbk(xx0)k+o((xx0)n)f(x) = \sum_{k=0}^{n}{a_k (x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n) = \sum_{k=0}^n{b_k (x-x_0)^k}+o((x-x_0)^n)则必有ak=bk,k=0,,na_k=b_k , k=0,\cdots,n

证:
首先,令xx0x\to x_0,就可以得到a0=b0a_0=b_0,这样,k=1nak(xx0)k+o((xx0)n)=k=1nbk(xx0)k+o((xx0)n)\sum_{k=1}^{n}{a_k (x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n) = \sum_{k=1}^n{b_k (x-x_0)^k}+o((x-x_0)^n)两边除以xx0x-x_0,再令xx0x\to x_0,又有a1=b1a_1=b_1,这样就有k=2nak(xx0)k+o((xx0)n)=k=2nbk(xx0)k+o((xx0)n)\sum_{k=2}^{n}{a_k (x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n) = \sum_{k=2}^n{b_k (x-x_0)^k}+o((x-x_0)^n)重复以上步骤可以证得结论

这说明我们可以通过复合的形式,得到某些复杂函数的Taylor公式。
例5.6f(x)=11x2f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}x=0x=0处的Taylor展开

解:
我们知道g(x)=(1+x)12g(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}x=0x=0处的Taylor展开为:g(x)=k=0nC12kxk+o(xn)g(x) = \sum_{k=0}^{n}{ C_{-\frac{1}{2}}^{k} x^k } + o(x^n)代入,就有f(x)=g(x2)=k=0nC12kx2k+o(x2n)f(x) = g(x^2) = \sum_{k=0}^{n}{ C_{-\frac{1}{2}}^{k} x^{2k} } + o(x^{2n})由Taylor公式唯一性,f(x)f(x)00处所有奇数阶导数为0,而f(2k)(0)=(2k)!C12kf^{(2k)}(0) = (2k)!C_{-\frac{1}{2}}^k

例5.7f(x)=arcsinxf(x) = \arcsin{x}x=0x=0处的Taylor展开

解:
f(x)f(x)所有偶数阶导数都为0,而f(2k+1)(0)=(2k)!C12kf^{(2k+1)}(0) = (2k)!C_{\frac{1}{2}}^kn=2m+1(m0)n=2m+1(m\ge 0)时,arcsinx=k=0mC12kx2k+12k+1+o(x2m+1) \arcsin{x} = \sum_{k=0}^{m}{ \frac{ C_{-\frac{1}{2}}^k x^{2k+1} }{2k+1} } +o(x^{2m+1}) n=2m(m1)n=2m(m\ge 1)时,arcsinx=k=0m1C12kx2k+12k+1+o(x2m) \arcsin{x} = \sum_{k=0}^{m-1}{ \frac{ C_{-\frac{1}{2}}^k x^{2k+1} }{2k+1} } +o(x^{2m})

带拉格朗日余项的泰勒公式

带佩亚诺余项的Taylor公式只指出了Taylor公式的余项是(xx0)n(x-x_0)^n的高阶无穷小,但是没有给出余项的具体形式,而拉格朗日余项的Taylor公式将给出余项的具体形式。
定理5.3 f(x)f(x)x0x_0的某个邻域上有直到nn阶的连续导数,并且在该邻域上具有n+1n+1阶导数,则f(x)=k=0nf(k)(x0)k!(xx0)k+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1 f(x)=\sum_{k=0}^{n}{ \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k }+ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} 其中ξ\xi介于xxx0x_0之间

证:
F(t)=f(x)i=0nf(i)(t)i!(xt)iF(t) = f(x) - \sum_{i=0}^{n}{ \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i }F(t)=i=0nf(i+1)(t)i!(xt)i+i=1nf(i)(t)(i1)!(xt)i1=i=0nf(i+1)(t)i!(xt)i+i=0n1f(i+1)(t)i!(xt)i=f(n+1)(t)n!(xt)n F^\prime(t) = -\sum_{i=0}^{n}{ \frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i } +\sum_{i=1}^{n}{ \frac{f^{(i)}(t)}{(i-1)!}(x-t)^{i-1} }\\ =-\sum_{i=0}^{n}{ \frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i }+ \sum_{i=0}^{n-1}{ \frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^{i} }\\ =-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n G(t)=(xt)n+1G(t)=(x-t)^{n+1}F(x)=G(x)=0F(x)=G(x)=0,由柯西中值定理F(x0)G(x0)=F(x0)F(x)G(x0)G(x)=F(ξ)G(ξ)=f(n+1)(ξ)(n+1)! \frac{F(x_0)}{G(x_0)}=\frac{F(x_0)-F(x)}{G(x_0)-G(x)}=\frac{F^\prime(\xi)} {G^\prime(\xi)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}

例5.8 证明:x>1x>-1时,ln(1+x)<x\ln(1+x)<x

证:
由拉格朗日余项的泰勒公式ln(1+x)=xx22(1+ξ)2 \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2(1+\xi)^2} 其中,ξ\xi介于00xx之间,而x22(1+ξ)2>0\frac{x^2}{2(1+\xi)^2}>0

例5.9 证明:x0x\neq 0时,ex>1+xe^x>1+x

证:
由拉格朗日余项的泰勒公式ex=1+x+eξx22 e^x = 1 + x +\frac{e^{\xi}x^2}{2} 其中,ξ\xi介于00xx之间,而eξx22>0\frac{e^{\xi}x^2}{2}>0

例5.10 f(x)f(x)在原点的邻域二次可导,且limx0(sin3xx3+f(x)x2)=0\lim_{x\to 0}(\frac{\sin{3x}}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2})=0(1)求f(0)f(0)f(0)f^\prime(0)f(0)f^{\prime\prime}(0)
(2)求limx0(3x2+f(x)x2)\lim_{x\to 0}(\frac{3}{x^2}+\frac{f(x)}{x^2})

解:
(1)sin3xx3+f(x)x2=sin3x+xf(x)x3=3x92x3+o(x3)+f(0)x+f(0)x2+f(0)2x3+xo(x2)x3=(3+f(0))x+f(0)x2+(f(0)292)x3+o(x3)x3 \frac{\sin{3x}}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2}=\frac{\sin{3x}+xf(x)}{x^3}\\ =\frac{ 3x - \frac{9}{2}x^3 + o(x^3) + f(0)x+f^\prime(0)x^2+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}x^3 + xo(x^2) } {x^3}\\ =\frac{ (3+f(0))x +f^\prime(0)x^2 + (\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}-\frac{9}{2})x^3 + o(x^3) } {x^3} 由极限limx0(sin3xx3+f(x)x2)\lim_{x\to 0}(\frac{\sin{3x}}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2})存在,就必须有{3+f(0)=0f(0)=0 \begin{cases} 3+f(0)=0\\ f^\prime(0)=0 \end{cases} limx0(sin3xx3+f(x)x2)=f(0)292=0 \lim_{x\to 0}(\frac{\sin{3x}}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2}) = \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}-\frac{9}{2} = 0 因此,f(0)=9f^{\prime\prime}(0)=9
(2)3x2+f(x)x2=33+92x2+o(x2)x2=92+o(x2)x2 \frac{3}{x^2}+\frac{f(x)}{x^2} =\frac{3-3+\frac{9}{2}x^2+o(x^2)}{x^2}=\frac{9}{2}+\frac{o(x^2)}{x^2} x0x\to 0,就有limx0(3x2+f(x)x2)=92\lim_{x\to 0}(\frac{3}{x^2}+\frac{f(x)}{x^2})=\frac{9}{2}

函数的单调性

借助导数的正负,可以判断函数在某一个区间的单调性。
定理5.4f(x)f(x)在区间II上连续可导,则f(x)f(x)II上单调上升(下降)的充要条件是f(x)f(x)II上的导数非负(非正)

证:
仅证单调上升的情形。
充分性,如果f(x)f(x)在区间II上单调上升,则对任意的x0Ix_0\in I,对任意的x0<xIx_0<x \in I,都有f(x)f(x0)xx00 \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0 上式令xx0+x\to x_0^+,就有f(x0)0f^\prime(x_0)\ge 0
必要性,如果f(x)f(x)在区间II上导数非负,那么由拉格朗日中值定理,对x1<x2x_1<x_2x1I,x2Ix_1\in I ,x_2 \in If(x2)f(x1)=f(ξ)(x2x1)0f(x_2)-f(x_1) = f^\prime(\xi)(x_2-x_1) \ge 0f(x)f(x)II上单调上升

函数的极值与最值

在证明中值定理时,我们已经给出了极值点的一个必要条件:导数为0。本节讨论的是取极值的充分条件。
定理5.5 f(x)f(x)x0x_0的某个邻域上可导,f(x0)=0f^{\prime}(x_0)=0f(x)f^{\prime}(x)在该邻域上单调上升(下降),则f(x)f(x)x0x_0处取得极小值(极大值)

证:
仅证导数单调上升的情况。
如果f(x)f^\prime(x)在该邻域上单调上升,那么,x<x0x<x_0时,f(x)0f^\prime(x)\le 0,则f(x)f(x)x0x_0的左半邻域上单调下降,对左半邻域的任意一点xx,有f(x)f(x0)f(x)\ge f(x_0)
x>x0x>x_0时,f(x)0f^\prime(x) \ge 0,则f(x)f(x)在右半邻域上单调上升,从而对x>x0x>x_0f(x)f(x0)f(x)\ge f(x_0)
综上,在该邻域内,都有f(x)f(x0)f(x)\ge f(x_0)f(x)f(x)x0x_0处取得极小值。

推论5.1 f(x)f(x)x0x_0的某个邻域上可求二阶导数,f(x0)=0f^{\prime}(x_0)=0f(x0)>0(f(x0)<0)f^{\prime\prime}(x_0)>0(f^{\prime\prime}(x_0)<0),则f(x)f(x)x0x_0处取得极小值(极大值)
实际上,由泰勒公式,我们由更加广义的判断方法。
定理5.6 f(x)f(x)x0x_0的某个邻域上具有直到nn阶的导数,如果f(1)(x0)==f(n1)(x0)=0f^{(1)}(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0f(n)(x0)0f^{(n)}(x_0)\neq 0,则
(1)如果nn是偶数,f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0)>0时,f(x)f(x)x0x_0处取得严格极小值,f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0)<0时,f(x)f(x)x0x_0处取得严格极大值
(2)如果nn是奇数,f(n)(x)f^{(n)}(x)x0x_0处不取极值

证:
先证明(1):由泰勒公式:f(x)=f(x0)+f(n)(x0)(xx0)nn!+o((xx0)n) f(x) = f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} +o((x-x_0)^n)xx0x\neq x_0f(x)f(x0)(xx0)n=f(n)(x0)n!+o((xx0)n)(xx0)n \frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^n} =\frac{ f^{(n)}(x_0) }{n!} + \frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n} 存在δ>0\delta>0,当0<xx0<δ0<|x-x_0|<\delta时,有o((xx0)n)(xx0)n<f(n)(x0)2n! |\frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n}|<\frac{f^{(n)}(x_0) }{2n!} 此时,f(x)f(x0)(xx0)n=f(n)(x0)n!+o((xx0)n)(xx0)nf(n)(x0)2n!>0 \frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^n} =\frac{ f^{(n)}(x_0) }{n!} + \frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n} \frac{f^{(n)}(x_0) }{2n!}>0 从而f(x)>f(x0)f(x)>f(x_0)f(x)f(x)x0x_0处取得严格极小值。严格极大值情形的证明是类似的。
(2)仿照(1)的证明方法,不妨设f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0)>0f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0)<0情形的证明是类似的,存在δ>0\delta>0,当0<xx0<δ0<|x-x_0|<\delta时,有f(x)f(x0)(xx0)n=f(n)(x0)n!+o((xx0)n)(xx0)nf(n)(x0)2n!>0\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^n} =\frac{ f^{(n)}(x_0) }{n!} + \frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n} \frac{f^{(n)}(x_0) }{2n!}>0但由于nn是奇数,当0<xx0<δ0<x-x_0<\delta时,f(x)f(x0)>0f(x)-f(x_0)>0,当
δ<xx0<0-\delta<x-x_0<0时,f(x)f(x0)<0f(x)-f(x_0)<0,因此,f(x)f(x)x0x_0处不取极值

函数的凹凸性

我们先给出凸函数的定义。
定义5.1f(x)f(x)是定义在区间II上的函数
(1)如果对任意的x1,x2Ix_1,x_2\in I,对任意的t(0,1)t\in(0,1),都有f(tx1+(1t)x2)tf(x1)+(1t)f(x2)f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)则称f(x)f(x)是区间II上的下凸函数或上凹函数
(2)如果对任意的x1,x2Ix_1,x_2\in I,对任意的t(0,1)t\in(0,1),都有f(tx1+(1t)x2)tf(x1)+(1t)f(x2)f(tx_1+(1-t)x_2)\ge tf(x_1)+(1-t)f(x_2)则称f(x)f(x)是区间II上的上凸函数或下凹函数

不同领域对凹凸性的定义都有不同,在运筹学、凸优化、泛函分析上,凹凸都是下凹凸性。在考研高等数学当中,凹凸性都是上凹凸性。我们这里采用的是下凹凸性。不加说明的情况下,凸函数指的是下凸函数,凹函数指的是下凹函数。
定理5.7 (凸函数判断的充要条件) f(x)f(x)是区间II上的函数,f(x)f(x)II上的凸函数的充要条件是:对区间II内的三个点x1<x2<x3x_1<x_2<x_3,有f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2 \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}

证:
必要性,如果f(x)f(x)是区间II上的凸函数,则对区间II内的三个点x1<x2<x3x_1<x_2<x_3x2=x2x1x3x1x3+x3x2x3x1x1x_2 = \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1} x_3 + \frac{x_3-x_2}{x_3-x_1} x_1
由凸函数定义:f(x2)x2x1x3x1f(x3)+x3x2x3x1f(x1) f(x_2)\le \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1} f(x_3) + \frac{x_3-x_2}{x_3-x_1} f(x_1) 整理即可得到不等式f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2 \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} 充分性:如果对区间II内的三个点x1<x2<x3x_1<x_2<x_3,有f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2 \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} 对任意的x1<x3x_1<x_3,对任意的t(0,1)t\in(0,1),令x2=tx1+(1t)x3x_2=tx_1+(1-t)x_3x1<x2<x3x_1<x_2<x_3,再套用以上不等式,相应地变形就可以证得结论。

定理5.8 f(x)f(x)是区间II上的可导函数,f(x)f(x)II上的凸函数的充要条件是:f(x)f^\prime(x)II上单调上升

证:
充分性由拉格朗日中值定理可以证得,仅证必要性:
任取区间II内的四个点x1<x2<x3<x4x_1<x_2<x_3<x_4,则f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2f(x4)f(x3)x4x3 \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} \le \frac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3} x2x1x_2\to x_1,就得到不等式f(x1)f(x3)f(x1)x3x1f(x4)f(x3)x4x3 f^\prime(x_1) \le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le \frac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3} 再令x3x4x_3\to x_4,就得到:f(x1)f(x4)f(x1)x4x1f(x4) f^{\prime}(x_1) \le \frac{f(x_4)-f(x_1)}{x_4-x_1} \le f^\prime (x_4) 再由x1,x4x_1,x_4的任意性,就可以得到ff^\prime单调上升的结论。

定理5.9 f(x)f(x)是区间II上的可导函数,f(x)f(x)II上的凸函数的充要条件是:对任意的II内的两点x1<x2x_1<x_2,都有f(x1)f(x2)f(x1)x2x1f(x2) f^\prime(x_1)\le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le f^\prime(x_2)

证:
必要性:如果f(x)f(x)II上的凸函数,对任意的x1<x3<x2x_1<x_3<x_2,有不等式f(x3)f(x1)x3x1f(x2)f(x3)x2x3 \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3} x3x1x_3\to x_1x3x2x_3 \to x_2即可得出结论
充分性:如果II内的两点x1<x2x_1<x_2,都有f(x2)f(x1)f(x1)(x2x1)f(x_2)-f(x_1)\le f^\prime(x_1)(x_2-x_1)对任意的区间II中的三个点x1<x3<x2x_1<x_3<x_2,有不等式f(x2)f(x3)x2x3f(x3) \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3} \ge f^\prime(x_3) f(x3)f(x1)x3x1f(x3) \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le f^\prime(x_3) 因此,f(x3)f(x1)x3x1f(x2)f(x3)x2x3 \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3} f(x)f(x)II上的凸函数

有了二阶导之后,我们就有更方便的判断凹凸性的方法
推论5.2 f(x)f(x)在区间II上具有二阶导数,f(x)f(x)II上是凸函数的充要条件是f(x)f(x)的二阶导数在II上非负

函数图像的绘制

明晰了函数的极值、最值、单调性、凹凸性之后,就可以大致画出函数曲线的轮廓,本节仅以一例,演示函数图像画图的过程。
在此,我们先补充拐点和渐近线的概念。所谓拐点,就是在该点的两侧,函数的凹凸性是相反的。渐近线分为斜渐近线,水平渐近线和铅直渐近线三类。
斜渐近线指的是f(x)axb0(x)f(x)-ax-b\to 0(x\to \infty)时的直线y=ax+by=ax+b,当a=0a=0时渐近线成了水平渐近线。铅直渐近线指f(x)(xx0)f(x)\to\infty(x\to x_0)时的直线x=x0x=x_0
有了拐点、驻点、单调性、凹凸性、渐近线,函数基本走势也就明晰了。求函数的图像就可以依据以下步骤进行:

(1)确定函数定义域
(2)研究函数有界性、奇偶性和周期性
(3)求解导数,研究导数正负,确定单调区间
(4)求解二阶导数,研究函数凹凸性,确定拐点和凹凸区间
(5)确定全体渐近线
(6)计算一些重要的点的函数值
(7)依据以上确定的趋势描绘出草图

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