泰勒公式
带佩亚诺余项的泰勒公式
微分的意义是用线性函数去逼近一个复杂的函数。实际上,我们还可以引入更高次的多项式取逼近一个复杂的函数,这就是Taylor公式表达的观点。
定理5.1f(x)在x0的某个邻域上有直到n−1阶导数,并且在x0具有n阶导数,则f(x)=k=0∑nk!f(k)(x0)(x−x0)k+o((x−x0)n)
证:
首先,n=1时结论显然成立。
假设,如果函数f(x)在x0处有直到m阶导数,有f(x)=k=0∑mk!f(k)(x0)(x−x0)k+o((x−x0)m)如果函数f(x)在x0处有直到m+1阶导数,那么其一阶导数f(1)在x0处有直到m阶导数,有f(1)(x)=k=0∑mk!f(k+1)(x0)(x−x0)k+o((x−x0)m)由洛必达法则:x→x0lim(x−x0)m+1f(x)−∑k=0m+1k!f(k)(x0)(x−x0)k=x→x0lim(m+1)(x−x0)mf(1)(x)−∑k=1m+1(k−1)!f(k)(x0)(x−x0)k−1=x→x0lim(m+1)(x−x0)mf(1)(x)−∑k=0mk!f(k+1)(x0)(x−x0)k=x→x0lim(x−x0)mo((x−x0)m)=0由数学归纳法就可以证得结论
现在,我们来推导一些初等函数的泰勒公式:
例5.1ex=k=0∑nk!xk+o(xn)
证:
由于f(n)(x)=ex,因此,f(n)(0)=1,再应用定理5.1
例5.2 求ln(1+x)在x=0处的Taylor公式
解:
令f(x)=ln(1+x),则f(1)(x)=1+x1f(2)(x)=−(1+x)21f(3)(x)=2(1+x)31f(4)(x)=−6(1+x)41猜想:f(k)(x)=(1+x)k(−1)k−1(k−1)!,用数学归纳法证明,如果f(k)(x)=(1+x)k(−1)k−1(k−1)!,那么f(k+1)(x)=(1+x)k+1(−1)k−1(k−1)!(−k)=(1+x)k+1(−1)kk!有归纳法,等式成立。
因此,f(k)(0)=(−1)k−1(k−1)!(k≥1),应用定理5.1,有ln(1+x)=k=1∑nk(−1)k−1xk+o(xn)
例5.3 求(1+x)α在x=0处的Taylor公式
解:
令f(x)=(1+x)α,求各阶导数:f(1)(x)=α(1+x)α−1f(2)(x)=α(α−1)(1+x)α−2f(3)(x)=α(α−1)(α−2)(1+x)α−3我们可以将排列数的定义扩张一下,定义Aαk=∏t=0k−1(α−t),容易看出,当α是正整数时,该数和组合数学中的排列数的定义是一致的。
猜想:f(k)(x)=Aαk(1+x)α−k,再用数学归纳法,可以证明该等式成立。于是f(k)(0)=Aαk,我们再扩充一下组合数的定义:Cαk=k!Aαk,容易验证,α是正整数时,这个数就是组合数学上的正整数,就可以得到Taylor公式:(1+x)α=k=0∑nCαkxk+o(xn)这个形式实际上就是α是任意实数情形下的二项式定理。
例5.4 求arctanx在x=0处的Taylor公式
解:
实际上,我们已经求过了f(x)=arctanx的高阶导数:f(k)(x)=(k−1)!cosk(arctanx)sin(karctanx+2kπ)因此,f(k)(0)=(k−1)!sin(2kπ),因此,arctanx的Taylor公式为arctanx=k=0∑nk(sin2kπ)xk+o(xn)
例5.5 sinx=k=0∑nk!(sin2kπ)xk+o(xn)cosx=k=0∑nk!(cos2kπ)xk+o(xn)
定理5.2(Taylor公式的唯一性) x→x0时,若f(x)=k=0∑nak(x−x0)k+o((x−x0)n)=k=0∑nbk(x−x0)k+o((x−x0)n)则必有ak=bk,k=0,⋯,n
证:
首先,令x→x0,就可以得到a0=b0,这样,k=1∑nak(x−x0)k+o((x−x0)n)=k=1∑nbk(x−x0)k+o((x−x0)n)两边除以x−x0,再令x→x0,又有a1=b1,这样就有k=2∑nak(x−x0)k+o((x−x0)n)=k=2∑nbk(x−x0)k+o((x−x0)n)重复以上步骤可以证得结论
这说明我们可以通过复合的形式,得到某些复杂函数的Taylor公式。
例5.6 求f(x)=1−x21在x=0处的Taylor展开
解:
我们知道g(x)=(1+x)−21在x=0处的Taylor展开为:g(x)=k=0∑nC−21kxk+o(xn)代入,就有f(x)=g(x2)=k=0∑nC−21kx2k+o(x2n)由Taylor公式唯一性,f(x)在0处所有奇数阶导数为0,而f(2k)(0)=(2k)!C−21k
例5.7 求f(x)=arcsinx在x=0处的Taylor展开
解:
f(x)所有偶数阶导数都为0,而f(2k+1)(0)=(2k)!C21k当n=2m+1(m≥0)时,arcsinx=k=0∑m2k+1C−21kx2k+1+o(x2m+1)当n=2m(m≥1)时,arcsinx=k=0∑m−12k+1C−21kx2k+1+o(x2m)
带拉格朗日余项的泰勒公式
带佩亚诺余项的Taylor公式只指出了Taylor公式的余项是(x−x0)n的高阶无穷小,但是没有给出余项的具体形式,而拉格朗日余项的Taylor公式将给出余项的具体形式。
定理5.3 f(x)在x0的某个邻域上有直到n阶的连续导数,并且在该邻域上具有n+1阶导数,则f(x)=k=0∑nk!f(k)(x0)(x−x0)k+(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1其中ξ介于x和x0之间
证:
令F(t)=f(x)−∑i=0ni!f(i)(t)(x−t)iF′(t)=−i=0∑ni!f(i+1)(t)(x−t)i+i=1∑n(i−1)!f(i)(t)(x−t)i−1=−i=0∑ni!f(i+1)(t)(x−t)i+i=0∑n−1i!f(i+1)(t)(x−t)i=−n!f(n+1)(t)(x−t)n令G(t)=(x−t)n+1,F(x)=G(x)=0,由柯西中值定理G(x0)F(x0)=G(x0)−G(x)F(x0)−F(x)=G′(ξ)F′(ξ)=(n+1)!f(n+1)(ξ)
例5.8 证明:x>−1时,ln(1+x)<x
证:
由拉格朗日余项的泰勒公式ln(1+x)=x−2(1+ξ)2x2其中,ξ介于0到x之间,而2(1+ξ)2x2>0
例5.9 证明:x=0时,ex>1+x
证:
由拉格朗日余项的泰勒公式ex=1+x+2eξx2其中,ξ介于0和x之间,而2eξx2>0
例5.10 f(x)在原点的邻域二次可导,且x→0lim(x3sin3x+x2f(x))=0(1)求f(0),f′(0),f′′(0)
(2)求limx→0(x23+x2f(x))
解:
(1)x3sin3x+x2f(x)=x3sin3x+xf(x)=x33x−29x3+o(x3)+f(0)x+f′(0)x2+2f′′(0)x3+xo(x2)=x3(3+f(0))x+f′(0)x2+(2f′′(0)−29)x3+o(x3)由极限limx→0(x3sin3x+x2f(x))存在,就必须有{3+f(0)=0f′(0)=0而x→0lim(x3sin3x+x2f(x))=2f′′(0)−29=0因此,f′′(0)=9
(2)x23+x2f(x)=x23−3+29x2+o(x2)=29+x2o(x2)令x→0,就有x→0lim(x23+x2f(x))=29
函数的单调性
借助导数的正负,可以判断函数在某一个区间的单调性。
定理5.4f(x)在区间I上连续可导,则f(x)在I上单调上升(下降)的充要条件是f(x)在I上的导数非负(非正)
证:
仅证单调上升的情形。
充分性,如果f(x)在区间I上单调上升,则对任意的x0∈I,对任意的x0<x∈I,都有x−x0f(x)−f(x0)≥0上式令x→x0+,就有f′(x0)≥0
必要性,如果f(x)在区间I上导数非负,那么由拉格朗日中值定理,对x1<x2,x1∈I,x2∈If(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)≥0f(x)在I上单调上升
函数的极值与最值
在证明中值定理时,我们已经给出了极值点的一个必要条件:导数为0。本节讨论的是取极值的充分条件。
定理5.5 f(x)在x0的某个邻域上可导,f′(x0)=0,f′(x)在该邻域上单调上升(下降),则f(x)在x0处取得极小值(极大值)
证:
仅证导数单调上升的情况。
如果f′(x)在该邻域上单调上升,那么,x<x0时,f′(x)≤0,则f(x)在x0的左半邻域上单调下降,对左半邻域的任意一点x,有f(x)≥f(x0)。
x>x0时,f′(x)≥0,则f(x)在右半邻域上单调上升,从而对x>x0,f(x)≥f(x0)。
综上,在该邻域内,都有f(x)≥f(x0),f(x)在x0处取得极小值。
推论5.1 f(x)在x0的某个邻域上可求二阶导数,f′(x0)=0,f′′(x0)>0(f′′(x0)<0),则f(x)在x0处取得极小值(极大值)
实际上,由泰勒公式,我们由更加广义的判断方法。
定理5.6 f(x)在x0的某个邻域上具有直到n阶的导数,如果f(1)(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0,f(n)(x0)=0,则
(1)如果n是偶数,f(n)(x0)>0时,f(x)在x0处取得严格极小值,f(n)(x0)<0时,f(x)在x0处取得严格极大值
(2)如果n是奇数,f(n)(x)在x0处不取极值
证:
先证明(1):由泰勒公式:f(x)=f(x0)+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)x=x0时(x−x0)nf(x)−f(x0)=n!f(n)(x0)+(x−x0)no((x−x0)n)存在δ>0,当0<∣x−x0∣<δ时,有∣(x−x0)no((x−x0)n)∣<2n!f(n)(x0)此时,(x−x0)nf(x)−f(x0)=n!f(n)(x0)+(x−x0)no((x−x0)n)2n!f(n)(x0)>0从而f(x)>f(x0),f(x)在x0处取得严格极小值。严格极大值情形的证明是类似的。
(2)仿照(1)的证明方法,不妨设f(n)(x0)>0,f(n)(x0)<0情形的证明是类似的,存在δ>0,当0<∣x−x0∣<δ时,有(x−x0)nf(x)−f(x0)=n!f(n)(x0)+(x−x0)no((x−x0)n)2n!f(n)(x0)>0但由于n是奇数,当0<x−x0<δ时,f(x)−f(x0)>0,当
−δ<x−x0<0时,f(x)−f(x0)<0,因此,f(x)在x0处不取极值
函数的凹凸性
我们先给出凸函数的定义。
定义5.1f(x)是定义在区间I上的函数
(1)如果对任意的x1,x2∈I,对任意的t∈(0,1),都有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)则称f(x)是区间I上的下凸函数或上凹函数
(2)如果对任意的x1,x2∈I,对任意的t∈(0,1),都有f(tx1+(1−t)x2)≥tf(x1)+(1−t)f(x2)则称f(x)是区间I上的上凸函数或下凹函数
不同领域对凹凸性的定义都有不同,在运筹学、凸优化、泛函分析上,凹凸都是下凹凸性。在考研高等数学当中,凹凸性都是上凹凸性。我们这里采用的是下凹凸性。不加说明的情况下,凸函数指的是下凸函数,凹函数指的是下凹函数。
定理5.7 (凸函数判断的充要条件) f(x)是区间I上的函数,f(x)是I上的凸函数的充要条件是:对区间I内的三个点x1<x2<x3,有x2−x1f(x2)−f(x1)≤x3−x2f(x3)−f(x2)
证:
必要性,如果f(x)是区间I上的凸函数,则对区间I内的三个点x1<x2<x3,x2=x3−x1x2−x1x3+x3−x1x3−x2x1。
由凸函数定义:f(x2)≤x3−x1x2−x1f(x3)+x3−x1x3−x2f(x1)整理即可得到不等式x2−x1f(x2)−f(x1)≤x3−x2f(x3)−f(x2)充分性:如果对区间I内的三个点x1<x2<x3,有x2−x1f(x2)−f(x1)≤x3−x2f(x3)−f(x2)对任意的x1<x3,对任意的t∈(0,1),令x2=tx1+(1−t)x3,x1<x2<x3,再套用以上不等式,相应地变形就可以证得结论。
定理5.8 f(x)是区间I上的可导函数,f(x)是I上的凸函数的充要条件是:f′(x)在I上单调上升
证:
充分性由拉格朗日中值定理可以证得,仅证必要性:
任取区间I内的四个点x1<x2<x3<x4,则x2−x1f(x2)−f(x1)≤x3−x2f(x3)−f(x2)≤x4−x3f(x4)−f(x3)x2→x1,就得到不等式f′(x1)≤x3−x1f(x3)−f(x1)≤x4−x3f(x4)−f(x3)再令x3→x4,就得到:f′(x1)≤x4−x1f(x4)−f(x1)≤f′(x4)再由x1,x4的任意性,就可以得到f′单调上升的结论。
定理5.9 f(x)是区间I上的可导函数,f(x)是I上的凸函数的充要条件是:对任意的I内的两点x1<x2,都有f′(x1)≤x2−x1f(x2)−f(x1)≤f′(x2)
证:
必要性:如果f(x)是I上的凸函数,对任意的x1<x3<x2,有不等式x3−x1f(x3)−f(x1)≤x2−x3f(x2)−f(x3)令x3→x1和x3→x2即可得出结论
充分性:如果I内的两点x1<x2,都有f(x2)−f(x1)≤f′(x1)(x2−x1)对任意的区间I中的三个点x1<x3<x2,有不等式x2−x3f(x2)−f(x3)≥f′(x3)x3−x1f(x3)−f(x1)≤f′(x3)因此,x3−x1f(x3)−f(x1)≤x2−x3f(x2)−f(x3)f(x)是I上的凸函数
有了二阶导之后,我们就有更方便的判断凹凸性的方法
推论5.2 f(x)在区间I上具有二阶导数,f(x)在I上是凸函数的充要条件是f(x)的二阶导数在I上非负
函数图像的绘制
明晰了函数的极值、最值、单调性、凹凸性之后,就可以大致画出函数曲线的轮廓,本节仅以一例,演示函数图像画图的过程。
在此,我们先补充拐点和渐近线的概念。所谓拐点,就是在该点的两侧,函数的凹凸性是相反的。渐近线分为斜渐近线,水平渐近线和铅直渐近线三类。
斜渐近线指的是f(x)−ax−b→0(x→∞)时的直线y=ax+b,当a=0时渐近线成了水平渐近线。铅直渐近线指f(x)→∞(x→x0)时的直线x=x0。
有了拐点、驻点、单调性、凹凸性、渐近线,函数基本走势也就明晰了。求函数的图像就可以依据以下步骤进行:
(1)确定函数定义域
(2)研究函数有界性、奇偶性和周期性
(3)求解导数,研究导数正负,确定单调区间
(4)求解二阶导数,研究函数凹凸性,确定拐点和凹凸区间
(5)确定全体渐近线
(6)计算一些重要的点的函数值
(7)依据以上确定的趋势描绘出草图