强连通分量之Kosaraju算法

今天学习了强连通分量的Kosaraju算法，网上写的人也不多，但是跟着视频教程讲解，还有去网上搜了博客，感觉他们的讲解都存在一定的问题，我在学习的时候碰到的一些困惑，他们并没有讲的清楚明白，当然，他们说的大致的思路是正确的。

算法思想：
先说说什么是强连通分量
强连通分量是针对有向图定义的，为了区别无向图的联通分量的概念。在一个强连通分量中，任意两点都相互可达。
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这个图中就存在三个强连通分量，分别{0}、{1}、{2}，因为这三个点相互不可达，但是自己到自己还是可到达的。

上图就是一个联通分量，应为在这个图中，两两都可达。

观察上面那个强连通分量图，在有向图中就是个环，很明显可以看到，从0->2有条边,但是2不能直接回到0，若2要能回到0必须得找到另外一条路径，就构成了环（自己理解，并无实际证明）

如何求强连通分量的个数呢？

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将所有联通分量看成一个点，得到的图一定是有向无环图，若得到的图存在环

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红色的边组成的环构成了一个联通分量。

根据这个图，可以看出，如果从出度为0的点进行深度优先遍历，那么一定会在这个顶点所在的联通分量遍历完以后退出。在遍历该联通分量时，不会去遍历其他的联通分量，因为其出度为0。
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遍历完0号联通分量后，再遍历1号联通分量，因为1号联通分量出度为1，但是它是指向0号联通分量的，0号刚刚被遍历完，所以遍历完1号联通分量不会跑到其他联通分量中去。
按照这个思路，按顺序进行深度优先遍历，我们可以计算出强连通分量的个数。所以重点是找到这个顺序。
如果对拓扑排序了解的话，若把上图进行拓扑排序的话，这个序列中0号联通分量必然排在最后一个，拓扑排序的思想和这这个算法的的顺序思想类似。求解这个拓扑排序要使用 深度优先遍历的后序遍历算法。这次搜索是对原图进行的。
我们需要了解两个时间戳的概念——最早发现时间和最晚完成时间，我们可以参照算法导论给出几个符号表示：
对于U集合，有：
d_min{U}：最早发现时间；d_max{U}：最晚发现时间；
f_min{U}：最早完成时间；f_max{U}：最早完成时间 。
发现时间，指的是搜索开始的时间；完成时间，指的是搜索结束的时间。对于U集合，发现时间和完成时间的最值有四个（上面四个），指的是所有的点都符合的一个最值。
算法导论里有个引理：22.14：设C和D为有向图G={ V , E }的两个不同的强连通分量。假如存在一条边( u , v )∈E，这里u∈C，v∈D，则f_max{C} > f_max{D} 。
它说明了一个非常重要的事：用任意的访问顺序搜索一个弱连通图，图里的强连通分量的最晚完成时间顺序一定。 我觉得这点才是这个算法思路的核心，困惑了我好久，因为无论你用正图或者反图进行深度优先遍历，得到一个序列必然有可能几个联通分量混在一起，而不是独立的界限的。但是这个引力说明了，每个强连通分量的最晚完成时间的顺序是一定的。现在我们不能把一个联通分量看成一个点了，我们把所有点都拆开看，顺便用例子验证这个引理的合理性。
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上图中有3个强连通分量A{0，1，2}、B{3，4，5}、C{6}
以1为顶点进行深度优先的后序遍历：
6、4、5、3、0、2、1；
每个联通分量最晚完成时间的顺序是：C B A
以4为顶点得到的序列为：
3、5、6、4、1、2、0；
每个联通分量最晚完成时间的顺序是：C B A
对应上了引理得出的结论；我们再来看看拓扑伪排序：6、4、5、3、0、2、1；和3、5、6、4、1、2、0；这两个拓扑排序的中前面C号联通分量和B号联通分量中的顶点是混在一起的，而A号联通分量的中的顶点一定排在这个序列的最后，思考下这句话，有两点，一个是A号联通分量为何排在最后，另一个是A中有顶点必然排在这个伪拓扑排序的最后。
先思考第一点：因为现在说的是A号联通分量，把他看成一个缩点，（在这里看成缩点的原因是，有向有环图不存在拓扑排序；看成缩点图更好理解）那么他在真正的拓扑排序应该排在第一位，第一位的特点是入度为0。
再看看第二点：因为图里的强连通分量的最晚完成时间顺序一定。若这个强连通分量的排在最晚完成时间顺序的最后，那么在伪拓扑排序的最后的顶点一定是属于该强连通分量。所以，我们取出该伪拓扑排序的最后一点，他一定是属于满足第一点要思考的。

因为A号联通分量的入度为零，那么将图中所有边全部反向，那么强连通分量的性质没有发生变化，变化的是每个联通分量的入度和出度发生了转化。A点的出度变为0，而A中的顶点必在伪拓扑排序的最后一点。将那个伪拓扑排序进行反序，得到的拓扑排序中靠前的一定是强连通分量中的最晚完成时间。按照开头求解联通分量的思想，强连通分量即可求。在这里插入图片描述