中国剩余定理
当 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 两两互质时，解方程组
\[
\begin{cases}
x&\equiv a_1\pmod{m_1} \\
x&\equiv a_2\pmod{m_2} \\
&\vdots \\
x&\equiv a_n\pmod{m_n}
\end{cases}
\]
- 令 \(M=\prod m_i\)，令 \(M_i=\frac{M}{M_i}\)；
- 方程组最小解： \(x_0=\sum (M_i^{-1}\bmod{m_i})M_ia_i\pmod{M}\)；
- 解集：\(\{x_0+kM:k\in\mathbb Z\}\)。
证明：带入 \(x_0\) 成立且周期为 \(M\)。
扩展中国剩余定理
解方程组
\[
\begin{cases}
x\equiv a_1\pmod {m_1} \\
x\equiv a_2\pmod {m_2}
\end{cases}
\]
扩展欧几里得算法合并即可。
Problem
解方程：
\[
\begin{cases}
b_1x&\equiv a_1\pmod{m_1} \\
b_2x&\equiv a_2\pmod{m_2} \\
&\vdots \\
b_nx&\equiv a_n\pmod{m_n} \\
\end{cases}
\]
考虑合并
\[
\begin{cases}x\equiv r\pmod{m}\\bx\equiv a\pmod{p}\end{cases}
\]
对于二式，可得
\[
bx+py=a
\]
扩展欧几里得算法求出 \(bx+py=\gcd(b,p)\) 的一个可行解 \(x=x_0\)，可得解集
\[
x=\frac{a}{\gcd(b,p)}x_0+\frac{p}{\gcd(b,p)}t
\]
再用扩展中国剩余定理解
\[
\begin{cases}
x\equiv r&\pmod {m}\\
x\equiv \frac{a}{\gcd(b,p)}x_0&\pmod{\frac{p}{\gcd(b,p)}}
\end{cases}
\]
即可。
来源：https://www.cnblogs.com/Ryedii-blog/p/12274059.html