时间序列学习笔记（三）

时间序列学习笔记（三）

随机游走

假定{w_t}为白噪声，均值为0，方差为σ²，如果
$X_t=\mu+X_{t-1}+w_t$
则过程{X_t}称为带有漂移μ的的随机游走（随机徘徊），如果X₀固定，那么
有
$X_t=\mu t+X_0+\sum^t_{t=1} w_i$
因此
$E(X_t)=\mu t+X_0$
$Var(X_t)=t\sigma^2$
随t变换的均值及方差意味着该过程是非平稳的。然而，随机游走的一阶差分
$\nabla X_t=X_t-X_{t-1}=\mu+w_t$
是一个纯随机过程。它是平稳的。
下图为带漂移（μ＝0.05）的随机游走（左上）及其样本自相关函数图（右上）以及原序列差分（左下）其差分的样本自相关函数图（右下）。
产生上图的代码：

> set.seed(2)
> rwd=cumsum(rnorm(n=520,mean=(1:100)*0.05))
> par(mfrow=c(2,2));ts.plot(rwd);acf(rwd)
> ts.plot(diff(rwd))#diff()函数的作用为计算其差分
> acf(diff(rwd))

趋势平稳过程

趋势平稳过程定义为
$X_t=f(t)+y_t$
这里的f(t)是t的任意实质函数，而{y_t}为一个平稳过程，它可以看成围绕着f(t)周围的平稳过程。
带漂移的随机游走可以是一个最简单的趋势平稳过程。它可以写成下面的形式：
$X_t=\mu+\beta t+w_t,w_t\sim iid(0,\sigma^2)$
趋平稳过程中的f(t)在这里是$E(x_t)=\mu+\beta t$,而$y_t=w_t$,方差$Var(X_t=\sigma^2)$,均因为均值s随时间变化。它不是平稳过程。在取一阶差分后，可以得到$\nabla X_t=\beta +w_t-w_{t-1}$

所以显然，$\nabla X_t$是一个平稳的MA（1）过程，均值为β，方差为2σ².
模拟的趋势平稳过程（左上）和样本自相关函数图（右上），以及其一阶差分序列（左下）和样本自相关函数图（右下）

产生图片的代码

> set.seed(2)
> y=arima.sim(n=200,list(ma=c(0.2,-0.4)),sd=sqrt(0.2))#产生ARMA模型的模拟数据,n为模拟数据长度
> x<-0.5-0.3*(1:200)+y
> par(mfrow=c(2,2));
> ts.plot(x)
> acf(x)
> ts.plot(diff(x))
> acf(diff(x))

来源：CSDN

作者：QY_yuan

链接：https://blog.csdn.net/QY_yuan/article/details/104061963