中国剩余定理 $CRT$

考虑一个同余方程组
\[ \begin{cases}x \equiv a_1 \ (mod \ b_1) \\x \equiv a_2 \ (mod \ b_2) \\\quad \quad \quad \vdots \\x \equiv a_n \ (mod \ b_n) \end{cases} \]

其中$b_1,b_2,\dots,b_n$两两互质。

令$m = \prod\limits_{i = 1}^n b_i$，$M_i = \frac{m}{b_i}$，$t_i$是同余方程$xM_i \equiv 1 \ (mod \ b_i)$的一个解

那么上面那个方程组的解为$\sum\limits_{i = 1}^{n} a_i M_i t_i$。

证明：

考虑$\sum$中的一项$i$，对于$k = i$显然有$a_i M_i t_i \equiv a_k \ (mod \ b_k)$，若$k \not = i$，则$a_i M_i t_i \equiv 0 \ (mod \ b_k)$（因为$M_i$是其他$b$的乘积）。

所以上面$\Sigma$中的$n$项各会满足一个方程，且不会对其他有影响，故$x = \sum\limits_{i = 1}^{n} a_i M_i t_i$是一组合法解。

证毕。

另外，$x$是在$mod \ m$意义下的解，即解集可以表示为$\{x + km : k \in \Z\}$。

板子题

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mult(ll a,ll b,ll c){
    if (b>a) swap(a,b);
    ll ret=0; for (;b;b>>=1,a=a*2%c) if (b&1) ret=(ret+a)%c;
    return ret;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (b==0){x=1,y=0;return;}
    else{
        exgcd(b,a%b,x,y);
        ll tmp=x; x=y; y=tmp-a/b*x;
    }
}
ll a[110],b[110]; int n;
ll CRT(){
    ll m=1; for (int i=1;i<=n;i++)m*=b[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=(a[i]%m+m)%m;
    ll ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        ll Mi=m/b[i],t,tmp;
        exgcd(Mi,b[i],t,tmp);
        t=(t%m+m)%m;
        ans=(ans+mult(Mi,mult(t,a[i],m),m))%m;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&b[i]);
    printf("%lld\n",CRT());
    return 0;
}

待填：扩展中国剩余定理 $ExCRT$

来源：https://www.cnblogs.com/wxq1229/p/12232491.html

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crt

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