数论学习笔记(二)
> 本文主要讲解狄利克雷卷积，莫比乌斯反演与杜教筛的基础。
一、狄利克雷卷积
定义：
\[t=f*g\]
\[\boldsymbol{t(n)=\sum_{i|n}f(i)g(\frac{i}{n})}\]
性质：
1.交换律：
\[\boldsymbol{f*g=g*f}\]
证明：
\[\sum_{i|n}f(i)g(\frac{n}{i})=\sum_{i|n}g(i)f(\frac{n}{i})=\sum_{i|n}g(\frac{n}{i})f(i)\]
2.结合律：
\[\boldsymbol{(f*g)*h=f*(g*h)}\]
证明：
\[\text{左右两式均 =}\sum_{i*j*k=n}f(i)g(j)h(k)\]
3.分配律：
\[\boldsymbol{(f+g)*h=f*h+g*h}\]
证明：
\[\text{右式}=\sum_{i|n}f(i)h(\frac{n}{i})+\sum_{i|n}g(i)h(\frac{n}{i})\]
\[=\sum_{i|n}h(\frac{n}{i})[f(i)+g(i)]\]
\[\text{即}(f+g)*h\]
\[\boldsymbol{(xf)*g=x(f*g)}\]
证明：
\[\sum_{i|n}^{}xf(i)g(\frac{n}{i})=x\sum_{i|n}^{}f(i)g(\frac{n}{i})\]
5.单位元
\[\varepsilon *f=f\]
证明：
\[∵\varepsilon (n)=[n=1]\]
\[∴\varepsilon *f=\sum_{i|n}^{}\varepsilon (i)f(\frac{n}{i})=f(n)\]
二、积性函数
\[\boldsymbol{f(nm)=f(n)f(m)\quad (n\perp m)}\]
如果没有\((n\perp m)\)的条件，就是完全积性函数。
常见积性函数：
\(\text{完全积性函数}\begin{cases}\varepsilon (n)=[n=1] & \\ id(n)=n & \\ id^{k}=n^{k} & \end{cases}\)
\(\text{积性函数}\begin{cases}d(n)->n\text{的因数和} & \\ \sigma (n)->n\text{的因数个数} & \\ \varphi (n)->\text{小于n的数中与n互质的数的个数} & \end{cases}\)
两个积性函数的卷积也是积性函数
证明：
若\(f\)和\(g\)均是积性函数，且\(n\perp m\)
\(t(nm)\)
\(= \sum_{i|nm} f(i)g(\frac{nm}{i})\)
\(= \sum_{a|n,b|m} f(ab)g(\frac{nm}{i})\)
\(= \sum_{a|n,b|m} f(a)g(\frac{n}{a})f(b)g(\frac{m}{b})\)
\(= (\sum_{a|n}f(a)(\frac{n}{a}))(\sum_{b|m}f(b)g(\frac{m}{b}))\)
\(= t(n)t(m)\)
莫比乌斯反演
若\(f=1*g\)，则\(g=\mu*f\)。
即\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\)，则\(g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})\)。
证明：
∵ \(f=1*g\)
∴ \(\mu*f=\mu*1*g\)
又 \(\mu*1=\varepsilon\)
∴ \(\mu*f=\varepsilon*g=g\)，即\(g=\mu*f\)
性质：
\[1.\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\]
即：\(\quad \varepsilon=\mu*1\)
\[2.\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}\]
证明：由\(\varphi=\mu*id\)得：
\(\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*(\frac{n}{d})\)
\(\quad \quad \;=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}·n\)
∴ \(\frac{\varphi(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\)
如何求\(\mu\)？
1.由于1是积性函数，所以\(\mu\)也是积性的。(\(\mu=1*\varepsilon\))
\[\mu(n)=\begin{cases}(-1)^{t}\quad \quad n=p1·p2·...·pt\\0\quad \quad \quad \;\;\; n\text{有平方因子}\end{cases}\]
常见积性函数卷积：
\[\mu*1=\varepsilon\]
已知：\(\sum_{d|n}\mu(d)\)等价于\([n==1]\)
所以：\(1*\mu=\sum_{d|n}\mu(d)·(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\)
\[1*1=d\]
\(\sum_{d|n}1(d)·1(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}1=d\)
\[1*\varphi=id\]
即\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)
\[\mu*id=\varphi\]
\(id=1*\varphi\)
根据反演可得：\(\varphi=\mu*id\)
\[\sigma =id*1\]
显然。
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\[\boldsymbol{To \;\;Be\;\;Continued.}\]
来源：https://www.cnblogs.com/chu-xuan/p/10625631.html