标签：生成函数，多项式exp
有 $n$ 个点，每个点有一个度数 $v[i]$，代表如果选择这个点就必须满足这个点与 $v[i]$ 条边相连.
求：有多少种选法，使得所选集合中的点能构成一棵树.
如果 $m$ 个点能生成一颗树，那么一定满足 $\sum v_{i}=2\times (m-1)$
这是因为度数之和其实就是边的数量 $\times 2$.
~~然后感性理解~~：如果 $m$ 个点满足 $\sum v_{i}=2\times(m-1)$，则一定能构成一棵树.
那就将问题转化成：有 $m$ 个物品，每个物品的价值为 $v_{i}-2$，求装满一个体积为 $-2$ 的背包有多少种选法.
对于所有 $v_{i}-2>0$ 的部分，我们直接设生成函数+多项式 exp 来做，然后 $v_{i}=2$ 的部分直接乘上贡献.
最后 $v_{i}=1$ 的部分直接来一个二项式定理展开，然后依次枚举 $v_{i}=1$ 的个数就好了.
因为有 $ori-i=-2$，所以有 $ori=i-2$.
code:
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <string>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
namespace IO
{
char buf[100000],*p1,*p2;
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int rd()
{
int x=0; char s=nc();
while(s<'0') s=nc();
while(s>='0') x=(((x<<2)+x)<<1)+s-'0',s=nc();
return x;
}
void print(int x) {if(x>=10) print(x/10);putchar(x%10+'0');}
void setIO(string s)
{
string in=s+".in";
string out=s+".out";
freopen(in.c_str(),"r",stdin);
// freopen(out.c_str(),"w",stdout);
}
};
const int G=3;
const int N=4000005;
const int mod=998244353;
int A[N],B[N],w[2][N],mem[N*100],*ptr=mem,tmpa[N],tmpb[N],aa[N],bb[N];
inline int qpow(int x,int y)
{
int tmp=1;
for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
return tmp;
}
inline int INV(int a) { return qpow(a,mod-2); }
inline void ntt_init(int len)
{
int i,j,k,mid,x,y;
w[1][0]=w[0][0]=1,x=qpow(3,(mod-1)/len),y=qpow(x,mod-2);
for (i=1;i<len;++i) w[0][i]=(ll)w[0][i-1]*x%mod,w[1][i]=(ll)w[1][i-1]*y%mod;
}
void NTT(int *a,int len,int flag)
{
int i,j,k,mid,x,y;
for(i=k=0;i<len;++i)
{
if(i>k) swap(a[i],a[k]);
for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
}
for(mid=1;mid<len;mid<<=1)
for(i=0;i<len;i+=mid<<1)
for(j=0;j<mid;++j)
{
x=a[i+j], y=(ll)w[flag==-1][len/(mid<<1)*j]*a[i+j+mid]%mod;
a[i+j]=(x+y)%mod;
a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
}
if(flag==-1)
{
int rev=INV(len);
for(i=0;i<len;++i) a[i]=(ll)a[i]*rev%mod;
}
}
inline void getinv(int *a,int *b,int len,int la)
{
if(len==1) { b[0]=INV(a[0]); return; }
getinv(a,b,len>>1,la);
int l=len<<1,i;
memset(A,0,l*sizeof(A[0]));
memset(B,0,l*sizeof(A[0]));
memcpy(A,a,min(la,len)*sizeof(a[0]));
memcpy(B,b,len*sizeof(b[0]));
ntt_init(l);
NTT(A,l,1),NTT(B,l,1);
for(i=0;i<l;++i) A[i]=((ll)2-(ll)A[i]*B[i]%mod+mod)*B[i]%mod;
NTT(A,l,-1);
memcpy(b,A,len<<2);
}
void get_dao(int *a,int *b,int len)
{
for(int i=1;i<len;++i) b[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;
b[len-1]=0;
}
void get_jifen(int *a,int *b,int len)
{
for(int i=1;i<len;++i) b[i]=(ll)INV(i)*a[i-1]%mod;
b[0]=0;
}
void get_ln(int *a,int *b,int len,int la)
{
int l=len<<1,i;
memset(tmpa,0,l<<2);
memset(tmpb,0,l<<2);
get_dao(a,tmpa,min(len,la));
getinv(a,tmpb,len,la);
ntt_init(l);
NTT(tmpa,l,1),NTT(tmpb,l,1);
for(i=0;i<l;++i) tmpa[i]=(ll)tmpa[i]*tmpb[i]%mod;
NTT(tmpa,l,-1);
get_jifen(tmpa,b,len);
}
void get_exp(int *a,int *b,int len,int la)
{
if(len==1) { b[0]=1; return; }
int l=len<<1,i;
get_exp(a,b,len>>1,la);
for(i=0;i<l;++i) aa[i]=bb[i]=0;
for(i=0;i<(len>>1);++i) aa[i]=b[i];
get_ln(b,bb,len,len>>1);
for(i=0;i<len;++i) bb[i]=(ll)(mod-bb[i]+(i>la?0:a[i]))%mod;
bb[0]=(bb[0]+1)%mod;
ntt_init(l);
NTT(aa,l,1),NTT(bb,l,1);
for(i=0;i<l;++i) aa[i]=(ll)aa[i]*bb[i]%mod;
NTT(aa,l,-1);
for(i=0;i<len;++i) b[i]=aa[i];
}
struct poly
{
int len,*a;
poly(){}
poly(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l; }
inline void rev() { reverse(a,a+len); }
inline void fix(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l;}
inline void get_mod(int l) { for(int i=l;i<len;++i) a[i]=0; len=l; }
inline poly dao()
{
poly re(len-1);
for(int i=1;i<len;++i) re.a[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;
return re;
}
inline poly jifen()
{
poly c;
c.fix(len+1);
c.a[0]=0;
for(int i=1;i<=len;++i) c.a[i]=(ll)a[i-1]*INV(i)%mod;
return c;
}
inline poly Inv(int l)
{
int lim=1;
while(lim<=l) lim<<=1;
poly b(lim);
getinv(a,b.a,lim,len);
return b;
}
inline poly ln(int l)
{
int lim=1;
while(lim<=l) lim<<=1;
poly b(lim);
get_ln(a,b.a,lim,len);
return b;
}
inline poly exp(int l)
{
int lim=1;
while(lim<=l) lim<<=1;
poly b(lim);
get_exp(a,b.a,lim,len);
b.get_mod(l);
return b;
}
inline poly operator*(const poly &b) const
{
poly c(len+b.len-1);
if(c.len<=500)
{
for(int i=0;i<len;++i)
if(a[i]) for(int j=0;j<b.len;++j) c.a[i+j]=(c.a[i+j]+(ll)(a[i])*b.a[j])%mod;
return c;
}
int n=1;
while(n<(len+b.len)) n<<=1;
memset(A,0,n<<2);
memset(B,0,n<<2);
memcpy(A,a,len<<2);
memcpy(B,b.a,b.len<<2);
ntt_init(n);
NTT(A,n,1), NTT(B,n,1);
for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,n,-1);
memcpy(c.a,A,c.len<<2);
return c;
}
poly operator+(const poly &b) const
{
poly c(max(len,b.len));
for(int i=0;i<c.len;++i) c.a[i]=((i<len?a[i]:0)+(i<b.len?b.a[i]:0))%mod;
return c;
}
poly operator-(const poly &b) const
{
poly c(len);
for(int i=0;i<len;++i)
{
if(i>=b.len) c.a[i]=a[i];
else c.a[i]=(a[i]-b.a[i]+mod)%mod;
}
return c;
}
poly operator/(poly u)
{
int n=len,m=u.len,l=1;
while(l<(n-m+1)) l<<=1;
rev(),u.rev();
poly v=u.Inv(l);
v.get_mod(n-m+1);
poly re=(*this)*v;
rev(),u.rev();
re.get_mod(n-m+1);
re.rev();
return re;
}
poly operator%(poly u)
{
poly re=(*this)-u*(*this/u);
re.get_mod(u.len-1);
return re;
}
}po;
int a[N],v[N],bu[N],fac[N],inv[N],f0,f1,IN[N];
int C(int x,int y)
{
if(x<y) return 0;
return (ll)fac[x]*IN[y]%mod*IN[x-y]%mod;
}
int main()
{
// IO::setIO("input");
int i,j,n;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&v[i]);
if(v[i]>2) bu[v[i]-2]++;
else if(v[i]==2) ++f0;
else ++f1;
}
// int maxm=n;
fac[0]=IN[0]=inv[0]=1;
for(i=1;i<=n;++i)
{
fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
inv[i]=INV(i);
IN[i]=INV(fac[i]);
}
po.fix(n+1);
for(i=1;i<=n;++i)
{
if(bu[i])
{
for(j=i;j<=n;j+=i)
{
int d=j/i;
int de=((d+1)%2==0)?1:mod-1;
po.a[j]=(ll)(po.a[j]+(ll)de*bu[i]%mod*inv[d]%mod+mod)%mod;
}
}
}
po=po.exp(n+1);
int tmp=qpow(2,f0);
for(i=0;i<=n;++i) po.a[i]=(ll)po.a[i]*tmp%mod;
// int ans=(ll)C(f1,2)*tmp;
int ans=0;
for(i=2;i<=f1;++i)
{
ans=(ll)(ans+(ll)C(f1,i)*po.a[i-2]%mod)%mod;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
来源：https://www.cnblogs.com/guangheli/p/12209231.html