Kalman滤波学习笔记一《绪论：最优估计》

学习笔记参考：《Kalman滤波基础及MATLAB仿真》北京航空航天大学出版社——王可东编著

1、任何传感器都存在确定性和随机测量误差；
2、两种获取物体状态的方法：积分推算法和直接测量法，前者的误差随工作时间发散；
3、误差分为确定性误差和随机误差，前者可以完全补偿，后者不可以，且只能从统计意义上认识；
4、估计的定义：基于测量结果，按照状态与其测量值之间的内在关系，确定状态统计量的过程；
5、估计的分类：预测、滤波和平滑；预测的精度最低，平滑的精度最高，滤波的精度介于两者之间；
6、预测：利用从初始时刻到当前时刻的所有测量结果，对未来某一时刻的状态进行估计的过程；
7、滤波：利用从初始时刻到当前时刻的所有测量结果，对当前时刻的状态进行估计的过程；
8、平滑：利用从初始时刻到当前时刻的所有测量结果，对过往某一时刻的状态进行估计的过程；
9、最优估计的定义：基于对状态的多个测量结果，按照某种最优准则，实现对状态的估计；
10、一个小例子：设对某一常量 $x$ 进行两次独立无偏测量，试基于这两次测量结果给出对常量 $x$ 的线性、无偏和最小方差的估计结果：
解：设两次测量值 $z_1,z_2$ 分别为： $\begin{cases} z_1 = x + v_1\\ z_2 = x + v_2 \end{cases}$ 式中， $v_1,v_2$ 分别为两次测量的误差。由于两次测量都是无偏的，即 $E(z_1) = E(z_2) = E(x)$ ，又 $x$ 为常量，故 $E(x) = x$ ，可得 $E(v_1) = E(v_2) = 0$ ；同时，设： $\begin{cases} E(v_1^{2}) = \sigma_1^{2}\\ E(v_2^{2}) = \sigma_2^{2} \end{cases}$ 又因为两次测量是独立的，即两次测量误差之间是不相关的，故有 $E(v_1v_2) = 0$ 。设 $x$ 的估计值 $\hat{x}$ ，按照线性假设，有： $\hat{x} = k_1z_1 + k_2z_2$ 式中， $k_1,k_2$ 为待定的线性加权系数。估计偏差为 $\tilde{x} = \hat{x} - x$ ，基于无偏估计要求，有： $E\lbrack \tilde{x} \rbrack = E\lbrack k_1(x+v_1)+k_2(x+v_2)-x \rbrack = (k_1+k_2-1)E(x)=(k_1+k_2-1)x=0$ 可得： $k_1 + k_2-1=0$ 再考虑到估计偏差的方差最小，有： $E\lbrack \tilde{x}^{2} \rbrack = k_1^{2}\sigma_1^{2}+(1-k_1)^{2}\sigma_2^{2}$ 上式通过对 $k_1$ 求导可知最小均方估计误差为： $E(\tilde{x}^{2})_{min} = (\frac {1} {\sigma_1^{2}}+\frac {1} {\sigma_2^{2}})^{-1}$ $\tilde{x} = (\frac {\sigma_2^{2}} {\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}})z_1+(\frac {\sigma_1^{2}} {\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}})z_2$

        可以看到分配给测量精度高的值更大的权重，这也是符合常理的；
11、最优估计的一般过程：
       ①基于事物自身的某种规律，建立状态随时间的变化关系，称为“系统建模”；
       ②建立测量值与状态之间的变化关系，称为“量测建模”；
       ③对误差进行建模，其中包括系统误差和测量误差；
       ④基于某种最优准则构建最优估计算法；
12、小例子的MATLAB实现：设一辆汽车在一条公路上匀速直线行驶，速度为 $30m/s$ 。车上安装了BDS接收机，其测速误差是均值为 $0$ 、标准差为 $0.1m/s$ 的高斯噪声；同时，车载测速仪的测速误差为均值为 $0$ 、标准差为 $0.5m/s$ 的高斯噪声。试利用这两个车速测量结果，针对车速，设计一线性、无偏和估计偏差方差最小的估计算法，并画出其在 $100s$ 之内的速度估计偏差。

MATLAB代码如下：

clear all; close all;
N = 100;    %运行时间
x = 30 * ones(N,1);    %被估计对象
sigma1 = 0.1; sigma2 = 0.5;    %噪声方差
v1 = sigma1 * randn(N,1); v2 = sigma2 * randn(N,1);    %模拟正态分布的白噪声
z1 = x + v1; z2 = x + v2;    %发生测量值
w1 = sigma1^2/(sigma1^2 + sigma2^2);
w2 = sigma2^2/(sigma1^2 + sigma2^2);
x_est = w1 * z2 + w2 * z1;
figure(1)
plot(1:N,x_est,'k*-',1:N,x,'k',1:N,z1,'ks-',1:N, z2,'ko-');
legend('估计值','真值','测量值1','测量值2');
xlabel('时间（s）');ylabel('速度（m/s）')
figure(2)
plot(1:N,x_est-x,'k*-',1:N,v1,'k',1:N,v2,'ko-');
legend('估计误差','测量误差1','测量误差2')
xlabel('时间（s）');ylabel('速度误差（m/s）')

课后习题
1、设对某一常量 $x$ 进行三次独立无偏测量，试基于这三次测量结果给出对常量 $x$ 的线性、无偏、最小方差估计结果。
2、某溶液中物质浓度以指数方式随时间降低。 $t_1,t_2$ 时刻溶液浓度的带干扰量测方程为： $z_i=x_0e^{-t_i}+v_i(i=1,2)$ 其中， $v_i$ 均值为零，方差为 $\sigma_i^{2}$ 。求初始浓度 $x_0$ 的无偏最小方差估计及对应的估计方差。
3、在笔记第10条的例子中，若 $E(v_1v_2)=\rho\sigma_1\sigma_2$ ，其它对应条件相同，求最优估计。
4、将笔记第10条的例子推广至 $n$ 次测量的情况，基本假设相同。
参考答案如下：

来源：CSDN

作者：西园啜茗

链接：https://blog.csdn.net/qq_39800591/article/details/103874028

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平滑滤波