CG-曲线与曲面-学习笔记

一、连续性

1. 参数连续性

0阶参数连续性（C⁰）：是指曲线的几何位置连接，即第一个曲线段的终点与第二个曲线段的起点x,y,z值相等；

1阶参数连续性（C¹）：在C⁰的基础上，该始末点的导数相等；

2阶参数连续性（C²）：在C¹的基础上，该始末点的二阶导相等；

2. 几何连续性（条件不太苛刻）

0阶几何连续性（G⁰）：同0阶参数连续性；

1阶几何连续性（G¹）：在满足G0条件下，两曲线结合处有公共切矢（方向相同，大小成比例）；

2阶几何连续性（G²）：在满足G1条件下，两曲线结合处有公共曲率；

二、Bezier曲线与曲面

1. 曲线段拟合函数

可以把曲线表示为许多小线段Φ_i（x）之和，其中Φ_i（x）称为基（混合）函数；

2. Bezier曲线定义

其中系数矢量ai（i=0,1,...,n）顺序首尾相接；

3. 贝塞尔基函数的替换->伯恩斯坦（Bernstain）基函数

1972年，剑桥大学的博士生Forrest在《Computer Aided Design》发表了他一生中最著名的论文。Forrest证明了Bezier曲线的基函数可以简化成伯恩斯坦基函数：

一个连续函数y=f(x)，任何一个ξ>0，总能找到一个多项式和这个函数足够逼近。伯恩斯坦这套逼近的理论的形式是：

4. Bezier曲线的再定义

针对Bezier曲线，给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0,1,2,...,n），则Bezier曲线段的参数方程表示如下：

其中：

二项式定理，又称牛顿二项式定理。

5. Bezier曲线分类：

1）一次Bezier曲线

这恰好是连接起点P₀和终点P₁的直线段！

2）二次Bezier曲线

二次Bezier曲线曲线为抛物线，其矩阵形式为：

3）三次Bezier曲线

把Bezier三次曲线多项式写成矩阵形式：

 6. Bezier曲线性质

1）端点性质：P0和Pn分别位于实际曲线段的起点和终点上；

2）一阶导数：Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致；

3）几何不变性：Bezier曲线的形状仅与控制多边形各定点的相对位置有关，而与坐标系的选择无关；

4）变差缩减性：若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与p（t）的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数。

 7. Bezier曲线的生成

1）根据定义直接生成Bezier曲线

a）首先给出Cⁱ_{n的递归计算式：；}

b）将表示成分量坐标形式：

根据以上的公式可以直接写出绘制Bezier曲线的程序。

2）Bezier曲线的递推（de Casteljau）算法

以二次Bezier曲线为例，求曲线上t=1/3的点：

由上三式得：

二次Bezier曲线P₀²可以定义为分别由前两个顶点（P₀,P₁）和后两个顶点（P₁,P₂）决定的一次Bezier曲线的线性组合。

由（n+1）个控制点P_i（i=0,1,...,n）定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条（n-1）次Bezier曲线P₀^n-1与P₁^n-1的线性组合：

由此得到Bezier曲线的递推计算公式：

 三、B样条曲线与曲面

1. 引入——Bezier曲线的不足：

1）一旦确定了特征多边形的顶点数（n+1），也就决定了曲线的阶次（n）;

2）Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂；

3）Bezier曲线或曲面不能作局部修改；

2. B样条的递推定义和性质

B样条曲线的数学表达式为：

B_i,k(u)称为k阶（k-1次）B样条基函数，k是刻画次数的。其中k可以是2到控制点个数n+1之间的任意整数。对于Bezier曲线来说，阶数和次数是一样的；但对B样条，阶数是次数加1。

de Boor-Cox递推定义：

曲线方程中，n+1个控制顶点Pi（i=0,1,...,n），要用到n+1个k阶B样条B_i,k(u)。它们支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量U = [u₀,u₁,...,u_n+k]

3. B样条曲线的定义：

ui是节点值，U=(u₀,u₁,...,u_n+k)构成了k阶(k-1)次B样条函数的节点矢量，B样条曲线所对应的节点向量区间：u∈[u_k-1,u_n+1]

 

来源：https://www.cnblogs.com/mzyan/p/9904203.html