bezier曲线

一、连续性 1. 参数连续性 0阶参数连续性（C 0 ）：是指曲线的几何位置连接，即第一个曲线段的终点与第二个曲线段的起点x,y,z值相等； 1阶参数连续性（C 1 ）：在C 0 的基础上，该始末点的导数相等； 2阶参数连续性（C 2 ）：在C 1 的基础上，该始末点的二阶导相等； 2. 几何连续性（条件不太苛刻） 0阶几何连续性（G 0 ）：同0阶参数连续性； 1阶几何连续性（G 1 ）：在满足G0条件下，两曲线结合处有公共切矢（方向相同，大小成比例）； 2阶几何连续性（G 2 ）：在满足G1条件下，两曲线结合处有公共曲率； 二、Bezier曲线与曲面 1. 曲线段拟合函数 可以把曲线表示为许多小线段Φ i （x）之和，其中Φ i （x）称为基（混合）函数； 2. Bezier曲线定义 其中系数矢量ai（i=0,1,...,n）顺序首尾相接； 3. 贝塞尔基函数的替换->伯恩斯坦（Bernstain）基函数 1972年，剑桥大学的博士生Forrest在《Computer Aided Design》发表了他一生中最著名的论文。Forrest证明了Bezier曲线的基函数可以简化成伯恩斯坦基函数： 一个连续函数y=f(x)，任何一个ξ>0，总能找到一个多项式和这个函数足够逼近。伯恩斯坦这套逼近的理论的形式是： 4. Bezier曲线的再定义 针对Bezier曲线，给定空间n

一、Bezier曲线 1、背景知识 给定 n + 1 个数据点，生成一条曲线，使得该曲线与这些点所描述的形状相符 如果要求该曲线通过所有的数据点，则属于插值问题；如果只要求曲线逼近这些数据点，则属于逼近问题 在进行汽车外形设计时，先用折线段勾画出汽车的外形大致轮廓，然后用光滑的参数曲线去逼近这个折线多边形，这个折线多边形被称为特征多边形，逼近多边形的曲线被称为Bezier曲线 2、Bezier曲线的定义 Bezier曲线段的参数方程表示为： （其中Pi是控制多边形的n+1个顶点，即构成该曲线的特征多边形） 3、一次Bezier曲线、二次Bezier曲线和三次Bezier曲线 二、Bernstein基函数的性质 1、正性（非负性）：只有当t = 0 或 t = 1时为0，其他情况下均大于0 2、权性：基函数有n + 1项，这些基函数的和加起来正好等于1 来源： https://www.cnblogs.com/SChenqi/p/9776777.html

需求场景 一系列的坐标点，划出一条平滑的曲线 3次Bezier曲线 基本上大部分绘图工具都实现了3次Bezier曲线，4个点确定一条3次Bezier曲线。以html5中的canvas为例 let ctx = canvas.getContex('2d'); ctx.moveTo(20,20); // 曲线起点 Fom ctx.bezierCurveTo(20,100,200,100,200,20); // 分别为控制点 Ctrl1,Ctrl2, 终点 To 连续Bezier曲线 假定给定点的序列List，我们应该以List中的每个点为起点，其下一个点Next为终点绘制Bezier曲线。 所以问题变成，如何确定这两个点之间的两个Bezier控制点。 每一小段路径From-To的Bezier曲线并不是独立的，其实收到了其前后两个点的影响（Prev，Next） 我们在绘制每一段路径的时候，引入其前点Prev，和后点Next共同计算当前Bezier曲线的控制点Ctrl1,Ctrl2 如图所示 绘制从From到To的Bezier曲线，引入Prev,Next作参考点。 先依次连线4个点，记为线段l1,l2,l3，并求出其中点c1,c2,c3 连接中点，在c1c2上找一点f1, 使 l1:l2 = c1f1:f1c2。也就是 c1f1 = c1c2 * l1/(l1+l2)。我叫它线段比例法

CGContextAddCurveToPoint 这个函数看上去一般般，仔细琢磨发现不简单，为什么三个点就可以确定一条曲线呢？ 网上查了查，小小研究了一下下。 1.关键知识 窃取自 （ http://learn.gxtc.edu.cn/NCourse/jxcamcad/cadcam/Mains/main4-2.htm ） Bezier曲线 在工程设计中，由给定型值点进行曲线设计往往由于型值点的误差而得不到满意的结果。另一方面，在一些更注重外观的设计中，型值点的精度又不很重要。从 1962年起，法国雷诺汽车公司的Bezier开始构造他的以“逼近”为基础的参数曲线表示法。以这种方法为基础，完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统 UNIS-URF，1972年在雷诺汽车公司正式使用。 Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（称为特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。在多边形的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶 点则使用控制曲线的导数、阶次和形式。第一条和最后一条折线则表示出曲线在起点和终点处的切线方向。曲线的形状趋向仿效多边折线的形状。改变控制点与改变 曲线形状有着形象生动的直接联系。如图2．6所示。 1）Bezier曲线的定义 给定 n＋ l个空间向量bi(i= 0，l，…，n），称 n次参数曲线段 为Bezier曲线。式中使用了Bernstein多项式Bi，n（u

1）B样条曲线的定义 B样条线不仅保留了Bezier曲线的优点，而且具有局部控制的能力，B样条曲线方程可写为: 其中di，i ＝ 0，1，…，n为控制顶点。顺序连成的折线称为B样条控制多边形，Nik（u），i= 0，1，…，n称为K次规范B样条基函数，其中每一个称为规范B样条，简称B样条。它是由一个称为节点矢量的非递减的参数U的序列U0＜U1＜… ＜Ui＋k＋1所决定的光次分段多顶式。B样条具有局部支承性质，B样条基是多顶式样条空间具有最小支承的一组基，故被称之为基本样条（Basic spline），简称B样条。B样条与Bezier曲线比较有以下3点： （l）Bezier曲线的阶次与控制顶点数有关，而B样条的基函数次数K与体制顶占于de· （2）Bezier曲线所用的Bernstein基函数是多顶式函数．B样条曲线的基函数是多项式样条； （3）Bezier曲线缺乏局部控制能力，而B样条曲线具有局部控制性质。B样条的基函数可由下面的速推关系得到 上式中Ni，k（u）的次数由K确定．因此第i个K次B样条Ni，K(u)的节点为K+2个,即其支承区间为［ui，ui＋K＋1］。在B样条曲线方程中共有n＋1个控制顶点，即要用到 n＋1个k次B样条基函数，因此这些基函数所用的主承区间的并集就定义了这一组样条基的节点矢量，u＝［u0，U1 ， …，Un＋k+1］，可见B样条Ni,k（u

Bezier曲线的原理 Bezier曲线是应用于二维图形的曲线。曲线由顶点和控制点组成，通过改变控制点坐标可以改变曲线的形状。 一次Bezier曲线公式： 一次Bezier曲线是由P0至P1的连续点，描述的一条线段 二次Bezier曲线公式： 二次Bezier曲线是 P0至P1 的连续点Q0和P1至P2 的连续点Q1 组成的线段上的连续点B(t)，描述一条抛物线。 三次Bezier曲线公式： 二次Bezier曲线的实现 #include <vector> class CBezierCurve { public: CBezierCurve(); ~CBezierCurve(); void SetCtrlPoint(POINT& stPt); bool CreateCurve(); void Draw(CDC* pDC); private: // 主要算法，计算曲线各个点坐标 void CalCurvePoint(float t, POINT& stPt); private: // 顶点和控制点数组 std::vector<POINT> m_vecCtrlPt; // 曲线上各点坐标数组 std::vector<POINT> m_vecCurvePt; }; #include <math.h> #include "BezierCurve.h" CBezierCurve: