匈牙利算法（Hungarian method Edmonds）

以任意一个匹配M作为开始。（可取M=∅。）

若M已饱和X的每个顶点，停止（M为完美匹配）。否则，取X中M-不饱和顶点u，今：S<-{u}，T=∅。
若N（S）=T，则停止，算法结束（无完美匹配）；否则N（S）⊃T，转到下一步。
取y∈N（S）\T，若y为M-饱和的，设yz∈M，则令S=S∪（z），T=T∪{y}，转步骤②；否则，y为M-不饱和的，存在M-可扩路P，令M=M△E（P），转到步骤①。

M-饱和的:边uv∈M，则称点u与v为M-饱和的。

M-不饱和的：与点w相关联的所有边都不属于M，则称点m为M-不饱和的。

N(S)：点集S的邻集，图中所有与S中的点相邻接的顶点的集合。

M-交错路：p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。

M-可扩路（增广路）P：属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，起点与终点都是M-不饱和的。

E(P): M-可扩路（增广路）P的边的集合。

M△E(P)=(M∪E(P))\(M∩E(P))

由可扩路（增广路）的定义可以推出下述三个结论：

（1）P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

（2）将M和P进行异或操作可以得到一个更大的匹配M。

（3）M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

例题

从下图中给定的M={x1y2,x5y4}开始，用匈牙利算法求完美匹配。

1）M没有饱和X的每个顶点，取X中M-不饱和的顶点x3,令S={x3},T=∅，则N(S)={y1,y2,y3},N（S）⊃T, 取y3∈N（S）\T，y3为M-不饱和的，找到M-可扩路P=x3y3，令M=M△E（P）={ x1y2, x3y3,x5y4}

2）M没有饱和X的每个顶点，取X中M-不饱和的顶点x2,令S={x2},T=∅，则N(S)={y1},N（S）⊃T, 取y1∈N（S）\T，y1为M-不饱和的，找到M-可扩路P=x2y1，令M=M△E（P）={ x1y2,x2y1,x3y3,x5y4}

3）M没有饱和X的每个顶点，取X中M-不饱和的顶点x4,令S={x4},T=∅，则N(S)={y2}, N（S）⊃T, 取y2∈N（S）\T，y2为M-饱和的，且y2x1∈M(y2x1=x1y2),令S=S∪{x1}={x1, x4},T=T∪{y2}={y2}。

N(S)={y2,y4}, N（S）⊃T, 取y4∈N（S）\T，y4为M-饱和的，且y4x5∈M(y4x5=x5y4),令S=S∪{x5}={x1, x4,x5},T=T∪{y4}={y2,y4}。

N(S)={y2,y4,y5}, N（S）⊃T, 取y5∈N（S）\T，y5为M-不饱和的，找到M-可扩路P=x4y2x1y4x5y5，令M=M△E（P）={ x1y2,x2y1,x3y3,x5y4}△{x4y2,y2x1,x1y4,y4x5,x5y5}={ x1y4, x2y1,x3y3,x4y2,x5y5},M包含X的每个顶点，停止。

（可扩路的寻找，可以倒推，y5是由于x5引入的，x5是由于y4引入的，y4是由于x1引入的，x1是由于y2引入的，y2是由于刚开始取的x4）

手算验证：M为空，x4仅与y2相连，M={x4y2}；x2仅与y1相连M={x2y1,x4y2}；x3与y1、y2、y3相连，y1与y2已是M-饱和的，x3仅能与y3匹配，M={x2y1,x3y3,x4y2 }；x1与y2、y4相连，y2已是M-饱和的，x1仅能与y4匹配，M={x1y4, x2y1,x3y3,x4y2};仅剩x5与y5，两者是边的两点，匹配即可，故存在完美匹配M={ x1y4, x2y1,x3y3,x4y2,x5y5}。

代码实现

占个坑。。。

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来源：CSDN

作者：lady_killer9

链接：https://blog.csdn.net/lady_killer9/article/details/103586834

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完美匹配-匈牙利算法（Hungarian method Edmonds）讲解

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