匈牙利算法

一、问题描述 问题描述：N个人分配N项任务，一个人只能分配一项任务，一项任务只能分配给一个人，将一项任务分配给一个人是需要支付报酬，如何分配任务，保证支付的报酬总数最小。 问题数学描述： 　　 二、实例分析---穷举法 在讲将匈牙利算法解决任务问题之前，先分析几个具体实例。 以3个工作人员和3项任务为实例，下图为薪酬图表和根据薪酬图表所得的cost矩阵。 　　 利用最简单的方法 (穷举法) 进行求解，计算出所有分配情况的总薪酬开销，然后求最小值。 total_cost1 = 250 + 600 + 250 = 1100; x00 = 1,x11 = 1,x22 = 1; total_cost2 = 250 + 350 + 400 = 1000; x00 = 1,x12 = 1,x21 = 1; total_cost3 = 400 + 400 + 250 = 1050; x01 = 1,x10 = 1,x22 = 1; total_cost4 = 400 + 350 + 200 = 950; x01 = 1,x12 = 1,x20 = 1; //最优分配 total_cost5 = 350 + 400 + 400 = 1150; x02 = 1,x10 = 1,x21 = 1; total_cost6 = 350 + 600 + 250 = 1150; x02 = 1,x11 = 1

1 、背景 在生活中常常遇到两组元素多对多匹配而又数目有限的情况，我们需要对其进行最大匹配数的分配，使效率最大化。例如，有一组压缩气缸和一组压缩活塞，每一个型号的压缩气缸有一个固定的内径大小，每一个型号的压缩活塞可以匹配内径在一定范围内的气缸，使用匈牙利算法得到活塞和气缸对大匹配数的方案。 2 、二分图定义 二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设 G=(V,E) 是一个无向图，如果顶点 V 可分割为两个互不相交的子集 (A,B) ，并且图中的每条边 ( i ， j) 所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集 (i∈ A,j∈ B) ，则称图 G 为一个二分图。选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题。 二分图匹配是很常见的算法问题，一般用匈牙利算法解决二分图最大匹配问题。 3 、匹配定义 匹配： M 是 G 的一个匹配， (M ： { (x2,y4),(x3,y1),(x4,y3),(x6,y5)}) M- 交错路： p 是 G 的一条通路，如果 p 中的边为不属于 M 但属于 G 中的边与属于 M 中的边交替出现，则称 p 是一条 M- 交错路。即从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边、 ... 形成的路径。例如 :x1-y3-x2-y3 。 M- 饱和点： 对于 v ∈ V(G) ，如果 v 与 M 中的某条边关联，则称 v

目录 匈牙利算法（Hungarian method Edmonds） 例题 代码实现 匈牙利算法（Hungarian method Edmonds） 以任意一个匹配M作为开始。（可取M=∅。） 若M已饱和X的每个顶点，停止（M为完美匹配）。否则，取X中M-不饱和顶点u，今：S<-{u}，T=∅。 若N（S）=T，则停止，算法结束（无完美匹配）；否则N（S）⊃T，转到下一步。 取y∈N（S）\T，若y为M-饱和的，设yz∈M，则令S=S∪（z），T=T∪{y}，转步骤②；否则，y为M-不饱和的，存在M-可扩路P，令M=M△E（P），转到步骤①。 M-饱和的:边uv∈M，则称点u与v为M-饱和的。 M-不饱和的：与点w相关联的所有边都不属于M，则称点m为M-不饱和的。 N(S)：点集S的邻集，图中所有与S中的点相邻接的顶点的集合。 M-交错路：p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。 M-可扩路（增广路）P：属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现， 起点与终点都是M-不饱和的 。 E(P): M-可扩路（增广路）P的边的集合。 M△E(P)=(M∪E(P))\(M∩E(P)) 由可扩路（增广路）的定义可以推出下述三个结论： （1）P的路径个数必定为奇数， 第一条边和最后一条边都不属于M 。 （2

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 匈牙利算法：它由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。此算法的核心就是寻找增广路径，通过增广路径来求二分图最大匹配的一种算法。 通过这个图片来讲述一下。黑色代表A\B\C\D四只小狗，红色代表四种口味的骨头，每一条线表示的是小狗喜欢吃这个口味的骨头。 我们按照顺序给小狗们分配骨头，先给A分配，很明显a无人占用并且小A狗很喜欢，分配，博主最喜欢成人之美。(????) 现在给小B狗分配，小B喜欢b，前提b无人占用并且小B心仪很久，又成全一只小狗，哇哈哈~~ 轮到小C狗了，小C等了好久了，但是小C喜欢的骨头全都被占了，好可怜有木有，但是没关系，我们想办法来帮助他。如下图。 通过这张图，我们可以很清晰的知道，我们把A的先拿掉，但是还是要给找一个，不然岂不是太偏心，给A找到b，但是b被占了，同理，也先拿掉，这样A满足了,在给B继续找， 这样我们就找到c，ok大家都可以找到后备胎了，那么小C可以吃a！！！同理对d一样，但是发现如果满足d，其他的都会被破坏，综上，得到最大的匹配值为3。 匈牙利算法的流程就是上述的方案。 http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547 这个地址有精确描述，附加代码 来源： oschina 链接： https:/

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 概述 在二分图中寻找最大匹配数的算法(如对二分图不熟悉,可以看下笔者的另一篇文章 二分图/二部图检测(动图&代码实现) ),即对一侧的每一个尚未匹配的顶点,不断寻找可以增广的交替路 交替路: 匹配边和非匹配边交替出现 增广路径: 从一侧的非匹配点终止于另一个非匹配点 匈牙利算法 思路 从左侧的一个非匹配点出发 从右向左的边,永远走匹配边 终止于另一个非匹配点,则有增广路径,最大匹配数加1 补充:左侧和右侧只是一种说法,等价于一侧和另一侧 二分图寻找最大匹配数 下图是一个二分图,将会通过给这个图寻找最大匹配数,来描述匈牙利算法寻找增广交替路的思路 补充:匹配后的点置为红色,匹配边也置为红色 从顶点0出发,到达顶点4,此时顶点0和顶点4都是非匹配点,则找到一条增广交替路,最大匹配数为1 从顶点1出发,从 右->左的边只走匹配边 ,所以走1->4->0,此时来到顶点0,还可以走到顶点6,顶点6又是一个非匹配点,则找到一条增广的交替路,将该交替路中的 匹配路变为非匹配路,非匹配路变为匹配路 ,并将顶点1和顶点6置为匹配点 此时的最大匹配数为2 从顶点2出发,依次走过:2->6->0->4->1->5,找到一条新的增广交替路,再进行一次变换,并将顶点2和顶点3置为匹配点 此时的最大匹配数为3 至此,所有的顶点都匹配到了

km算法入门 https://www.cnblogs.com/logosG/p/logos.html 本文知识均由笔者自学，文章有错误之处请不吝指出。 笔者刷数模题的时候有一道题考到了“二分图最大权分配”，需要用到KM算法，但是书上对KM算法的介绍又臭又长，更何况有些同学“匈牙利算法”也没学过（由匈牙利数学家Edmonds提出），自然难以理解所谓的KM算法。本文旨在用通俗易懂的语言，向读者介绍匈牙利算法和KM算法。 一、匈牙利算法 匈牙利算法用于解决什么问题？ 匈牙利算法用于解决二分图的 最大匹配 问题。 什么是二分图？我们不妨来考虑这样一个问题，在一家公司里，有员工A,B,C，有三种工作a,b,c，如果员工和工作之间有线相连，则代表员工能胜任这份工作。 如图所示，员工A能胜任a,c工作，员工B能胜任a,b,c工作，而员工C只能胜任c工作。 上图就是所谓的“二分图”（请忽略图中箭头），简单的说，上图可划分为两个集合{员工}，{工作}，两个集合之间的元素可以相连，同一个集合内的元素不能相连。 下面请解决这样一个问题：请给出一个方案，让尽可能多的员工有 不同 的工作做。“匈牙利算法”的出现就是为了解决这个问题。 下面给出这个问题的解决方案：（读者看到这里可能会想，解决这个问题不是很简单吗？A→a,B→b，C→c不就好了？请注意：任何算法的给出都是为了 规整化 一个问题的解决步骤

求二分图的算法――匈牙利 例题： https://www.luogu.org/problem/P3386 思路： 首先二分图是一个求一堆东西（例如狗），喜欢一些东西（例如肉），但是他们喜欢的肉不同，求最大限度能满足多少条狗的问题。那么我们可以画一个图，把狗放在一侧，把肉放在一侧。 如果第i只狗， 喜欢第j个肉，那么，就从i-->j连一条有向边。 然后， 我们用贪心的思想进行dfs。 我们定义choose[i]表示第i个肉被第choose[i]个狗获得。 然后我们定义一个vis数组，防止死循环。 我们枚举1 ~ n，dfs判断第i只狗能否吃到肉。 dfs中，我们枚举i所喜欢的肉，如果第j个肉没有被吃 || 吃这个肉的狗可以吃别的肉，那么就return 1（及当前狗可以吃到肉），否则return 0。 如果return 1，就ans++（及可以吃到自己喜欢的肉的狗的数量++）。 注意：每次dfs都要把vis清空。 最后答案就是ans。 代码： 1 #include < bits / stdc ++. h > 2 #define INF 0x3f3f3f3f 3 using namespace std ; 4 int n , m , edge , head [ 100001 ], vis [ 100001 ], choose [ 100001 ], num , ans ; 5

超好玩匹配 很详细的二分图 n个男孩子，m个女孩子，男孩子对女孩子有好感(匹配者与被匹配这的关系是有向图或无向图,此时为无向图,如果女孩子也有喜欢的男孩子的话，就是有有向图) 进行男孩子匹配 可以用二维数组来构建图的关系,line[i][j]的权值表示I对j的联通,现在是1表示i对j存在好感,当出现有权值时就不一样了. 数组girl[]表示被匹配者匹配的是谁 used[]是一个动态的清零操作数组，在每次匹配的时候记录是否被匹配 HDU2063裸匹配，匈牙利算法即可 //有向图二分最大匹配---匈牙利算法 //一个图有两个子图，一个m个结点的子图，一个n个结点的子图，前者是主动匹配，后者是用来被匹配的 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std ; const int N = 505 ; int line [ N ][ N ]; int girl [ N ]; // int used [ N ]; //被匹配这是否被匹配，每次匹配都要进行清零操作，因为要实现腾出给其他女孩子用 int k , m , n ; //可能的组合数目,女生人数，男生人数 bool find ( int x ){ for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++){ /

二分图也是二部图，即可以将一个图分为两部分。 用男女举例，男生与女生有暧昧关系，同性之间是不存在暧昧的 （同性才是真爱，异性只为传宗接代） ，则他们之间存在一条边，那么我们可以将男生，女生分开，男生在左边，女生在右边 我们可以发现在左边的男生是没有边相连的，右边的女生也是，他们只与对面的异性存在边，那么这就是一个二分图。 至于匹配问题也很好理解，这里可以看成夫妻关系，一个男生可以有几个暧昧的异性，但是只有一位妻子，女生也是如此；一对夫妻即一组匹配 那么在给出的一个二分图中，求最大匹配就是最多存在几对夫妻。 求二分图最大匹配这里介绍匈牙利算法： 强推这位博主讲的匈牙利 ： https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547 给出一道洛谷的模板题： P3386 【模板】二分图匹配 这里给出我的代码： 1 /* 2 二分图最大匹配模板 3 czq 4 */ 5 6 #include <cstdio> 7 #include <cstring> 8 #include <iostream> 9 using namespace std; 10 const int N = 1e3 + 10; 11 12 int n, m, e; 13 int edges[N][N]; 14 int vis[N], rec[N]; 15 /

简单地说，就是一张图里的所有点可以分为两组（如上图），并且每条边都跨越两组。这样的图就是二分图。 一个图为二分图仅当： 没有奇数圈； 点色数为 2。 交替路 （也叫交错路）：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边……形成的路径叫交替路。 增广路 ：从一个未匹配点出发，走交替路，以另一个未匹配点为结尾（出发的点不算），则这条交替路称为增广路 增广路定理： 任意一个非最大匹配的匹配一定存在增广路。 我们可以一直找增广路，不断交换匹配。根据增广路定理， 如果找不到了，就说明已经达到最大匹配。 #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; int map[100][100]; int ans=0; int visit[100],link[100]; int n,m; bool dfs(int x) { for(int i=1;i<=n;i++) { if(!visit[i]&&map[x][i]) { visit[i]=1; if(!link[i]||dfs(link[i])) { link[i]=x; return 1; } } } return 0; } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y; cin>>x>>y; map