这么难的专题居然只给了这么短时间。。。
然而在NC的教导之下还是有一定的收获的。
附带一个垃圾博客:-1
按照习惯,堆砌结论而不加证明。
Section1 导数:
基本形式:$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
一次函数:$f(x)=ax+b \rightarrow f'(x)=a$
幂函数:$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$
正弦函数:$\lim\limits_{x \rightarrow 0}sin(x)=x $,得到$f(x)=sin(ax+b) \rightarrow f'(x)=a \ cos(ax+b)$
余弦函数:$\lim\limits_{x \rightarrow 0}cos(x)=1 $,得到$f(x)=cos(ax+b) \rightarrow f'(x)=-a \ sin(ax+b)$
指数函数:$e=\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$,得到$f(x)=a^x \rightarrow f'(x)=a^x ln \ a$
特别的,自然对数的指数函数:$f(x)=e^x \rightarrow e^x$。即$e$可以无限求导。
对数函数:$f(x)=log_a x \rightarrow f'(x)=\frac{1}{xlna}$
特别的,自然对数的对数函数:$f(x)=\frac{1}{x}$
运算法则:加法,减法,常数乘法。
乘法:设$h(x)=f(x)g(x)$,有$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
除法:设$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ ,有$h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$
复合函数:设$h(x)=f(g(x))$,有$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$
逆运算——积分:
多项式不定积分:$F'(x)=f(x) ,f(x)=ax^k \rightarrow F(x)=\frac{a}{k+1} x^{k+1}$
Section2 导数在多项式的应用:
泰勒展开:$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}$
麦克劳林公式:$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}$,是泰勒展开在$x_0$取0时的特殊形式。
级数求和公式:运用泰勒展开,讲简单形式与和式相互转化。
$e^x=\sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$
$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{i=0}^{\infty} x^i$
$\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-x)^i$
$ln(1+x)= - \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{(-x)^i}{i} $
$sin(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i+1} \times \frac{x^{2i-1}}{(2i-1)!}$
$cos(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \times \frac{x^{2i}}{(2i)!}$
牛顿迭代:利用泰勒展开逼近函数零点。
多项式牛顿迭代:
若已经求出$G_0(x)$,使$F(G_0(x)) \equiv 0(mod x^n)$,
则设$G(x) \equiv G_0(x)-\frac{F(G_0(x))}{F'(G_0(x))}(mod x^{2n})$,
有$F(G(x)) \equiv 0 (mod x^{2n})$
迭代使精度翻倍。应用于多项式除法。
多项式全家桶:(洛谷题库搜索“多项式模板”)
模板区:
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 using namespace std; 4 #define pi 3.141592653589793238462643383279 5 #define S 262144 6 #define mod 1000000007 7 #define ll long long 8 const int s=(1<<15)-1; 9 struct cp{double r,i; 10 cp operator+(cp x){return (cp){r+x.r,i+x.i};} 11 cp operator-(cp x){return (cp){r-x.r,i-x.i};} 12 cp operator*(cp x){return (cp){r*x.r-i*x.i,x.r*i+r*x.i};} 13 void operator=(int a){r=a;i=0;} 14 }a1[S],a2[S],b1[S],b2[S],x2[S],x1[S],x0[S],o[2][19][S],R,X,Y; 15 int rev[S],n,A[S],inv[S],len=1,bit,a[S],b[S],c[S],d[S]; 16 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)if(t&1)a=1ll*a*b%mod;return a;} 17 ll r(cp x){return (ll)(floor(x.r+0.5))%mod;} 18 void FFT(cp *a,int opt){ 19 for(int i=1;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0); 20 for(int i=1;i<len;++i)if(rev[i]>i)R=a[i],a[i]=a[rev[i]],a[rev[i]]=R; 21 for(int mid=1,p=0;mid<len;mid<<=1,p++)for(int i=0;i<len;i+=mid<<1)for(int j=i;j<i+mid;++j) 22 X=a[j],Y=a[j+mid]*o[opt>0][p][j-i],a[j]=X+Y,a[j+mid]=X-Y; 23 if(opt==-1)for(int i=0;i<len;++i)a[i].r/=len; 24 } 25 void MTT(int *a,int *b,int *c){ 26 for(int i=0;i<len;++i)a1[i]=a[i]&s,a2[i]=a[i]>>15,b1[i]=b[i]&s,b2[i]=b[i]>>15; 27 FFT(a1,1);FFT(a2,1);FFT(b1,1);FFT(b2,1); 28 for(int i=0;i<len;++i)x2[i]=b2[i]*a2[i],x0[i]=b1[i]*a1[i],x1[i]=b2[i]*a1[i]+b1[i]*a2[i]; 29 FFT(x2,-1);FFT(x1,-1);FFT(x0,-1); 30 for(int i=0;i<len;++i)c[i]=(((r(x2[i])<<30)+(r(x1[i])<<15)+r(x0[i]))%mod+mod)%mod; 31 } 32 void divide(int n){ 33 if(n==1){inv[0]=pow(A[0],mod-2);return;} 34 divide(n+1>>1);len=1;while(len<n<<1)len<<=1; 35 for(int i=0;i<len;++i)a[i]=(i<n)*A[i],b[i]=inv[i]*(i<n+1>>1); 36 MTT(a,b,c);MTT(c,b,d); 37 for(int i=0;i<len;++i)inv[i]=(b[i]*2-d[i]+mod)%mod; 38 } 39 int main(){ 40 scanf("%d",&n); 41 for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&A[i]); 42 while(len<n<<1)len<<=1; 43 for(int i=0;1<<i<len;++i)for(int j=0;j<1<<i;++j) 44 o[0][i][j]=(cp){cos(pi/(1<<i)*j),sin(pi/(1<<i)*j)}, 45 o[1][i][j]=(cp){cos(pi/(1<<i)*j),-sin(pi/(1<<i)*j)}; 46 divide(n);for(int i=0;i<n;++i)printf("%d ",inv[i]);puts(""); 47 }
1 #include<cstdio> 2 #define int long long 3 #define mod 998244353 4 #define S 1<<20 5 int rev[S],F[S],G[S],Q[S],n,m,len=1,ra[S],rb[S],iG[S],RA[S],RB[S]; 6 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;} 7 void NTT(int *a,int opt){ 8 for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0); 9 for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]]; 10 for(int mid=1;mid<len;mid<<=1) 11 for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1) 12 for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=w*t%mod) 13 x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod; 14 if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod; 15 } 16 void re(int *a,int n){for(int i=0,j=n-1;i<j;++i,--j)a[i]^=a[j]^=a[i]^=a[j];} 17 void pt(int *a,int n){for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",a[i]);puts("");} 18 void mul(int *a,int la,int *b,int lb,int *c){ 19 len=1;while(len<la+lb<<1)len<<=1; 20 for(int i=0;i<len;++i)ra[i]=rb[i]=0; 21 for(int i=0;i<la;++i)ra[i]=a[i]; 22 for(int i=0;i<lb;++i)rb[i]=b[i]; 23 NTT(ra,1);NTT(rb,1); 24 for(int i=0;i<len;++i)c[i]=ra[i]*rb[i]%mod; 25 NTT(c,-1); 26 } 27 void mul(int *a,int *b,int *c){ 28 for(int i=0;i<len;++i)ra[i]=a[i],rb[i]=b[i]; 29 NTT(ra,1);NTT(rb,1); 30 for(int i=0;i<len;++i)c[i]=ra[i]*rb[i]%mod; 31 NTT(c,-1); 32 } 33 void inv(int *a,int x,int *b){ 34 if(x==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return;} 35 inv(a,x+1>>1,b);len=1;while(len<x<<1)len<<=1; 36 for(int i=0;i<len;++i)RA[i]=RB[i]=0; 37 for(int i=0;i<x;++i)RA[i]=a[i]; 38 for(int i=0;i<x+1>>1;++i)RB[i]=b[i]; 39 mul(RA,RB,RA);mul(RA,RB,RA); 40 for(int i=0;i<x;++i)b[i]=(RB[i]+RB[i]-RA[i]+mod)%mod; 41 } 42 main(){ 43 scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++; 44 for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&F[i]); 45 for(int i=0;i<m;++i)scanf("%lld",&G[i]); 46 re(F,n);re(G,m);inv(G,n-m+1,iG);mul(F,n,iG,n-m+1,Q);re(Q,n-m+1);pt(Q,n-m+1); 47 re(G,m);mul(Q,n-m+1,G,m,Q);re(F,n); 48 for(int i=0;i<m-1;++i)printf("%lld ",(F[i]-Q[i]+mod)%mod);puts(""); 49 }
1 #include<cstdio> 2 #include<map> 3 using namespace std; 4 map<int,int>M; 5 #define mod 998244353 6 #define S 1<<19 7 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)if(t&1)a=1ll*a*b%mod;return a;} 8 int BSGS(int x){ 9 int k=pow(3,100000),I=pow(3,mod-2); 10 for(int i=0,p=1;i<mod;i+=100000,p=1ll*p*k%mod)M[p]=i; 11 for(int i=0,p=1;i<100000;++i,p=1ll*I*p%mod)if(M.find(1ll*x*p%mod)!=M.end()) 12 return i+M[1ll*x*p%mod]; 13 } 14 int rev[S],a[S],s[S],A[S],b[S],ra[S],rb[S],R[S],len,n,r[S]; 15 #define mat len=1;while(len<n<<1)len<<=1 16 void NTT(int *a,int opt){ 17 for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0); 18 for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]]; 19 for(int mid=1;mid<len;mid<<=1) 20 for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1) 21 for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=1ll*w*t%mod) 22 x=a[j],y=1ll*a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod; 23 if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=1ll*a[i]*iv%mod; 24 } 25 void mul(int *a,int *b,int *c,int opt=1){ 26 NTT(a,1);NTT(b,1); 27 for(int i=0;i<len;++i)c[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod; 28 NTT(c,-1);if(opt)NTT(b,-1); 29 } 30 void inv(int n){ 31 if(n==1){r[0]=pow(b[0],mod-2);return;} 32 inv(n+1>>1);mat; 33 for(int i=0;i<len;++i)ra[i]=i<n?b[i]:0,rb[i]=i<n+1>>1?r[i]:0; 34 mul(ra,rb,R);mul(R,rb,R); 35 for(int i=0;i<len;++i)r[i]=(0ll+rb[i]+rb[i]-R[i]+mod)%mod; 36 } 37 void sqr(int n){ 38 if(n==1){s[0]=pow(3,BSGS(A[0])/2);if(s[0]>mod-s[0])s[0]=mod-s[0];return;} 39 sqr(n+1>>1);mat; 40 for(int i=0;i<len;++i)a[i]=i<n?A[i]:0,b[i]=i<n+1>>1?s[i]:0; 41 inv(len>>1);mat;for(int i=len>>1;i<len;++i)r[i]=0; 42 mul(a,r,R,0);for(int i=0;i<len;++i)s[i]=(b[i]+R[i])*499122177ll%mod; 43 } 44 int main(){ 45 scanf("%d",&n); 46 for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&A[i]); 47 sqr(n); 48 for(int i=0;i<n;++i)printf("%d ",s[i]);puts(""); 49 }
1 #include<cstdio> 2 #define int long long 3 #define mod 998244353 4 #define S 1<<19 5 int n,len,rev[S],A[S],iA[S],ra[S],rb[S],Ra[S],Rb[S],ans[S],l1[S],l2[S]; 6 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;} 7 void deriv(int *a,int n,int *b){for(int i=0;i<n-1;++i)b[i]=a[i+1]*(i+1)%mod;b[n-1]=0;} 8 void integ(int *a,int n,int *b){for(int i=n-1;i;--i)b[i]=a[i-1]*pow(i,mod-2)%mod;b[0]=0;} 9 void NTT(int *a,int opt){ 10 for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0); 11 for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]]; 12 for(int mid=1;mid<len;mid<<=1) 13 for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1) 14 for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=w*t%mod) 15 x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod; 16 if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod; 17 } 18 void pt(int *a,int n=len){for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",a[i]);puts("");} 19 void mat(int x){len=1;while(len<x)len<<=1;} 20 void mul(int *a,int *b,int *c){ 21 for(int i=0;i<len;++i)Ra[i]=a[i],Rb[i]=b[i]; 22 NTT(Ra,1);NTT(Rb,1);for(int i=0;i<len;++i)c[i]=Ra[i]*Rb[i]%mod;NTT(c,-1); 23 } 24 void inv(int *a,int n,int *b){ 25 if(n==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return;} 26 inv(a,n+1>>1,b);mat(n<<1); 27 for(int i=0;i<len;++i)ra[i]=rb[i]=0; 28 for(int i=0;i<n;++i)ra[i]=a[i]; 29 for(int i=0;i<n+1>>1;++i)rb[i]=b[i]; 30 mul(ra,rb,ra);mul(ra,rb,ra); 31 for(int i=0;i<n;++i)b[i]=(rb[i]+rb[i]-ra[i]+mod)%mod; 32 } 33 void ln(int *a,int *b,int n){inv(a,n,l1);deriv(a,n,l2);mat(n<<1);mul(l1,l2,b);integ(b,n,b);} 34 main(){ 35 scanf("%lld",&n); 36 for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&A[i]); 37 ln(A,ans,n); 38 for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",ans[i]);puts(""); 39 }
1 #include<cstdio> 2 #define int long long 3 #define mod 998244353 4 #define S 1<<19 5 int rev[S],len,n,A[S],ans[S]; 6 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;} 7 void NTT(int *a,int opt){ 8 for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0); 9 for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]]; 10 for(int mid=1;mid<len;mid<<=1) 11 for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1) 12 for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=w*t%mod) 13 x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod; 14 if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod; 15 } 16 void pt(int *a,int n=len){for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",a[i]);puts("");} 17 void mat(int x){len=1;while(len<x)len<<=1;} 18 void deriv(int *a,int n,int *b){for(int i=1;i<n;++i)b[i-1]=a[i]*i%mod;b[n-1]=0;} 19 void integ(int *a,int n,int *b){for(int i=1;i<n;++i)b[i]=a[i-1]*pow(i,mod-2)%mod;b[0]=0;} 20 int r1[S],r2[S]; 21 void mul(int *a,int *b,int *c){ 22 for(int i=0;i<len;++i)r1[i]=a[i],r2[i]=b[i]; 23 NTT(r1,1);NTT(r2,1);for(int i=0;i<len;++i)c[i]=r1[i]*r2[i]%mod;NTT(c,-1); 24 } 25 int v1[S],v2[S]; 26 void inv(int *a,int n,int *b){ 27 if(n==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return;} 28 inv(a,n+1>>1,b);mat(n<<1); 29 for(int i=0;i<len;++i)v1[i]=v2[i]=0; 30 for(int i=0;i<n;++i)v1[i]=a[i]; 31 for(int i=0;i<n+1>>1;++i)v2[i]=b[i]; 32 mul(v1,v2,v1);mul(v1,v2,v1); 33 for(int i=0;i<n;++i)b[i]=(v2[i]+v2[i]-v1[i]+mod)%mod; 34 } 35 int n1[S],n2[S]; 36 void ln(int *a,int n,int *b){deriv(a,n,n1);inv(a,n,n2);mat(n<<1);mul(n1,n2,n1);integ(n1,n,b);} 37 int e[S]; 38 void exp(int *a,int n,int *b){ 39 if(n==1){b[0]=1;return;} 40 exp(a,n+1>>1,b);ln(b,n,e); 41 for(int i=0;i<n;++i)e[i]=(a[i]-e[i]+mod)%mod;e[0]++; 42 mat(n<<1);mul(b,e,b); 43 for(int i=n;i<len;++i)b[i]=0; 44 } 45 main(){ 46 scanf("%lld",&n); 47 for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&A[i]); 48 exp(A,n,ans);pt(ans,n); 49 }
1 #include<cstdio> 2 #define int long long 3 #define mod 998244353 4 #define S 1<<20 5 int rev[S],len,n,k,c,A[S],r1[S],r2[S],v1[S],v2[S],e[S],n1[S],n2[S],p[S],ans[S],I; 6 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;} 7 void NTT(int*a,int opt){ 8 for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0); 9 for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]]; 10 for(int mid=1;mid<len;mid<<=1) 11 for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1) 12 for(int j=i,x,y,w=1;j<i+mid;++j,w=w*t%mod) 13 x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod; 14 if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod; 15 } 16 void pt(int*a,int n=len){for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",a[i]);puts("");} 17 void mat(int x){len=1;while(len<x)len<<=1;} 18 void deriv(int*a,int n,int*b){for(int i=0;i<n;++i)b[i]=a[i+1]*(i+1)%mod;} 19 void integ(int*a,int n,int*b){for(int i=1;i<n;++i)b[i]=a[i-1]*pow(i,mod-2)%mod;b[0]=0;} 20 void mul(int*a,int*b,int*c){ 21 for(int i=0;i<len;++i)r1[i]=a[i],r2[i]=b[i]; 22 NTT(r1,1);NTT(r2,1);for(int i=0;i<len;++i)c[i]=r1[i]*r2[i]%mod;NTT(c,-1); 23 } 24 void inv(int*a,int n,int*b){ 25 if(n==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return;} 26 inv(a,n+1>>1,b);mat(n<<1); 27 for(int i=0;i<len;++i)v1[i]=v2[i]=0; 28 for(int i=0;i<n;++i)v1[i]=a[i]; 29 for(int i=0;i<n+1>>1;++i)v2[i]=b[i]; 30 mul(v1,v2,v1);mul(v1,v2,v1); 31 for(int i=0;i<n;++i)b[i]=(v2[i]+v2[i]-v1[i]+mod)%mod; 32 } 33 void ln(int*a,int n,int*b){ 34 deriv(a,n,n1);inv(a,n,n2);mat(n<<1); 35 for(int i=n;i<len;++i)n1[i]=n2[i]=0; 36 mul(n1,n2,n1);integ(n1,n,b); 37 } 38 void exp(int*a,int n,int*b){ 39 if(n==1){b[0]=1;return;} 40 exp(a,n+1>>1,b);ln(b,n,e); 41 for(int i=0;i<n;++i)e[i]=(a[i]-e[i]+mod)%mod;e[0]++; 42 mat(n<<1);for(int i=n;i<len;++i)e[i]=0;mul(e,b,b); 43 } 44 void pow(int*a,int n,int*b,int k){ln(a,n,p);for(int i=0;i<n;++i)p[i]=p[i]*k%mod;exp(p,n,b);} 45 main(){ 46 scanf("%lld%lld",&n,&k); 47 for(int i=0,x=1;i<n;++i)scanf("%lld",&A[i-c]),x*=(!A[i-c]),c+=x; 48 I=pow(A[0],mod-2);for(int i=0;i<n-c;++i)A[i]=A[i]*I%mod;pow(A,n-c,ans,k); 49 I=pow(I,(mod-2)*k);for(int i=0;i<n-c;++i)ans[i]=ans[i]*I%mod; 50 for(int i=0;i<c*k&&i<n;++i)printf("0 "); 51 for(int i=0;i<n-c*k;++i)printf("%lld ",ans[i]);puts(""); 52 }
Section 3:各种卷积性变换
FFT:运用复数单位根进行插值变换
NTT:运用原根进行插值变换
FWT:运用位运算卷积(与/或/异或)
MTT:任意模数NTT
1 #include<cstdio> 2 #define int long long 3 #define S 262144 4 #define m1 167772161 5 #define m2 998244353 6 #define m3 1004535809 7 const int M=1ll*m1*m2,R=m2%m1; 8 int mod,len=1,rev[S],a[S],b[S],ra[S],rb[S],ans[3][S],n,m,p,c; 9 int pow(int b,int t,int m,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%m)if(t&1)a=a*b%m;return a;} 10 int mul(int x,int y,int a=0){for(;y;y>>=1,x=(x+x)%M)if(y&1)a=(a+x)%M;return a;} 11 void NTT(int *a,int opt){ 12 for(int i=1;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]]; 13 for(int mid=1;mid<len;mid<<=1) 14 for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/2/mid*opt+mod-1,mod);i<len;i+=mid<<1) 15 for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=w*t%mod) 16 x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod; 17 if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2,mod);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod; 18 } 19 void solve(int x){mod=x; 20 for(int i=0;i<len;++i)a[i]=ra[i],b[i]=rb[i]; 21 NTT(a,1);NTT(b,1); 22 for(int i=0;i<len;++i)ans[c][i]=a[i]*b[i]%mod; 23 NTT(ans[c],-1);c++; 24 } 25 int cal(int a,int b,int c){ 26 int x=((mul(a*m2%M,pow(R,m1-2,m1)))+mul(b*m1%M,pow(m1,m2-2,m2)))%M; 27 int y=((c-x)%m3+m3)%m3*pow(M%m3,m3-2,m3)%m3%p;return (M%p*y+x)%p; 28 } 29 main(){ 30 scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p); 31 for(int i=0;i<=n;++i)scanf("%lld",&ra[i]); 32 for(int i=0;i<=m;++i)scanf("%lld",&rb[i]); 33 while(len<=n+m+1)len<<=1; 34 for(int i=1;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0); 35 solve(m1);solve(m2);solve(m3); 36 for(int i=0;i<=n+m;++i)printf("%lld ",cal(ans[0][i],ans[1][i],ans[2][i])); 37 }
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 using namespace std; 4 #define pi 3.141592653589793238462643383279 5 #define S 262144 6 #define mod 1000000007 7 #define ll long long 8 const int s=(1<<15)-1; 9 struct cp{double r,i; 10 cp operator+(cp x){return (cp){r+x.r,i+x.i};} 11 cp operator-(cp x){return (cp){r-x.r,i-x.i};} 12 cp operator*(cp x){return (cp){r*x.r-i*x.i,x.r*i+r*x.i};} 13 void operator=(int a){r=a;i=0;} 14 }a1[S],a2[S],b1[S],b2[S],o[2][19][S],X,Y,A1,A2,B1,B2; 15 int rev[S],n,A[S],inv[S],len=1,bit,a[S],b[S],c[S]; 16 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)if(t&1)a=1ll*a*b%mod;return a;} 17 ll r(cp x){return (ll)(floor(x.r+0.5))%mod;} 18 void FFT(cp *a,int opt){ 19 for(int i=1;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0); 20 for(int i=1;i<len;++i)if(rev[i]>i)X=a[i],a[i]=a[rev[i]],a[rev[i]]=X; 21 for(int mid=1,p=0;mid<len;mid<<=1,p++)for(int i=0;i<len;i+=mid<<1)for(int j=i;j<i+mid;++j) 22 X=a[j],Y=a[j+mid]*o[opt>0][p][j-i],a[j]=X+Y,a[j+mid]=X-Y; 23 if(opt==-1)for(int i=0;i<len;++i)a[i].r/=len; 24 } 25 void MTT(int *a,int *b,int *c){ 26 for(int i=0;i<len;++i)a1[i]=a[i]&s,a2[i]=a[i]>>15,b1[i]=b[i]&s,b2[i]=b[i]>>15; 27 FFT(a1,1);FFT(a2,1);FFT(b1,1);FFT(b2,1); 28 for(int i=0;i<len;++i)A1=a1[i],B1=b1[i],A2=a2[i],B2=b2[i], 29 a1[i]=B2*A2,a2[i]=B1*A1,b1[i]=B2*A1+B1*A2; 30 FFT(b1,-1);FFT(a2,-1);FFT(a1,-1); 31 for(int i=0;i<len;++i)c[i]=(((r(a1[i])<<30)+(r(b1[i])<<15)+r(a2[i]))%mod+mod)%mod; 32 } 33 void divide(int n){ 34 if(n==1){inv[0]=pow(A[0],mod-2);return;} 35 divide(n+1>>1);len=1;while(len<n<<1)len<<=1; 36 for(int i=0;i<len;++i)a[i]=(i<n)*A[i],b[i]=inv[i]*(i<n+1>>1); 37 MTT(a,b,c);MTT(c,b,c); 38 for(int i=0;i<len;++i)inv[i]=(b[i]*2-c[i]+mod)%mod; 39 } 40 int main(){ 41 scanf("%d",&n); 42 for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&A[i]); 43 while(len<n<<1)len<<=1; 44 for(int i=0;1<<i<len;++i)for(int j=0;j<1<<i;++j) 45 o[0][i][j]=(cp){cos(pi/(1<<i)*j),sin(pi/(1<<i)*j)}, 46 o[1][i][j]=(cp){cos(pi/(1<<i)*j),-sin(pi/(1<<i)*j)}; 47 divide(n);for(int i=0;i<n;++i)printf("%d ",inv[i]);puts(""); 48 }
1 for(int i=1;i<len;++i)for(int j=0;j<len;j+=i)for(int k=j;k<j+i;++k)a[k+i]+=a[k]*opt;//or 2 for(int i=1;i<len;++i)for(int j=0;j<len;j+=i)for(int k=j;k<j+i;++k)a[k]+=a[k+i]*opt;//and 3 for(int i=1;i<len;++i)for(int j=0;j<len;j+=i)for(int k=j;k<j+i;++k) 4 a[k]+=a[k+i],a[k+i]=a[k]-a[k+i]*2,a[k],a[k]/=(opt==-1?2:1),a[k+i]/=(opt==-1?2:1);//xor
Section 4:母函数
OGF:$F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_ix^i$。常用于组合。
EGF:$F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{i!}x^i$。常用于排列。
主要就是用于把数列带入需要化简的式子,以便于进行多项式运算。
来源:https://www.cnblogs.com/hzoi-DeepinC/p/12040042.html