1.解决什么类型问题

1.1 计数问题

如最典型的青蛙跳，也就是斐波那契数列、棋盘路径问题、

还有组合公式,不重复组合（ Combination ），c(n, m)从n个选手中选出m个出道～（101哈哈哈哈哈），有多少种可能性？这个问题可以分解为两个子问题，根据最后一个人能不能进组合有两种可能：

最后一个人出道，剩余席位是m-1, 子问题是c(n-1, m-1)

最后一个人不能出道，剩余席位还是m，子问题是c(n-1，m)

c(n, m) =
 { c(n-1, m-1) + c(n-1, m)  , if n > 1 and m > 1 and n >= m
 { n                        , if m = 1
 { 1                        , if n = 1

这一类问题通常递推公式是子问题的和，c(n, m) =c(n-1, m-1) + c(n-1, m)，边界就是m=1或者n=1。

1.2 极值问题

如背包问题，就是多阶段最优决策。一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条决策路径。
初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决策ｎ│→结束状态

如棋盘最大和（最小和），从(0,0) 到（n-1,n-1）路上数值最大和

这一类问题通常递推公式是子问题max、min值，如上题c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]) + a[i][j];

还有最长递增子序列、最少找零问题、最大子数组等等，更多问题和详情可见top15动态规划

2.特性

2.1 重复子问题

如下图所示，求解斐波那契数列时，同一个子问题（图中划圈）的解重复求解，会导致组合爆炸，重复计算，为了解决这个问题，可以通过记忆化memoization解决，即记录子问题的解

2.2 无后效性

下一时刻的状态只与当前状态有关，而和当前状态之前的状态无关，当前的状态是对以往决策的总结，

棋盘最大和问题，如果当前状态是处于dp[i][j]上，下一时刻的状态就是dp[i+1][j]，和dp[i][j+1]，这两个状态仅和当前状态（到【i，j】的最大值）有关，对于dp[i-1][j-1]这些之前的状态不关心。

2.3 最优化子结构

假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1，D2，…，Dn，如若这个决策序列是最优的，对于任何一个整数k，1 < k < n，不论前面k个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策Dk+1，Dk+2，…，Dn也是最优的。

过程步骤

反复读取数据、计算数据、存储数据。实现方式有两种：递归和循环迭代

1. 把原问题递归分割成多个更小的問題。（recurrence递归 分治）
   1-1. 子問題與原問題的求解方式皆類似。（optimal sub-structure最优子结构）
   1-2. 子問題會一而再、再而三的出現。（overlapping sub-problems重复子问题）
2. 设计计算过程：
   2-1. 确认每个问题有哪些子问题。（recurrence 递归）
   2-2. 确认总共有哪些问题。（state space 状态空间）
   2-3. 把问题一一对应到表格。（lookup table 记忆表）
   2-4. 确定问题的计算顺序。（computational sequence 计算顺序）
   2-5. 确定初始值、计算范围。（initial states / boundary 初始状态／计算边界）
3. 事件，主要有两种方式：
   3-1. Top-down 自上而下   递归
   3-2. Bottom-up 自下而上   循环迭代

	递归	迭代
优点	代码可读性高，易理解不必考虑子问题的依赖关系和计算顺序当仅需求解一部分子问题时更快	代码更短没有递归负载，执行更快滑动窗口
缺点	不能使用滑动窗口可能栈溢出	可读性差，不直观需注意子问题依赖关系和计算顺序

设计步骤

(1)划分阶段
(2)确定状态空间和状态变量通常是数组（1维或多维）下标指决策，元素指状态
(3)确定决策并写出状态转移方程 递推公式
(4)寻找边界条件

来源：CSDN

作者：sarafina527

链接：https://blog.csdn.net/sarafina527/article/details/103522295

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