/原文：2018-12-18
/更新于2019-8-7
欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。
通式： 
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
- 比如x=12，拆成质因数为12=2*2*3，
- 12以内有1/2的数是2的倍数，那么有1-1/2的数不是2的倍数（1,3,5,7,9,11），
- 这6个数里又有1/3的数是3的倍数，
- 只剩下(1 - 1/2 - 1/3)的数既不是2的倍数，也不是3的倍数（1,5,7,11）。
- 这样剩下的12*(1 - 1/2 - 1/3)=4，即4个数与12互质，所以φ(12)=4。
证明：对于正整数x，
- 如果x=1，则 φ(1) = 1。
- 1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
- 如果x是质数，则 φ(x)=x-1 。
- 质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
- 如果n只有一个质因数p，即x = p^k(p为质数，k>=1)，则φ(pk)=pk(1-1/p)=pk-pk-1 。
- 从1~x中，p的倍数共有x/p个，共占了1/p，则减去这些数后，还剩下x*（1-1/p）个。
- 可以看出，上一种情况是 k=1 时的特例。
- 如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n = p1 * p2，则φ(x) = φ(p1 * p2) = φ(p1) * φ(p2)。
- φ(a)=m,φ(b)=n,φ(a*b) = a(1-p1)(1-p2)...*b(1-q1)(1-q2)... = m*n
- 欧拉函数是积性函数（若当m与n互质时，f(m∗n)=f(m)∗f(n) f(m*n)=f(m)*f(n)f(m∗n)=f(m)∗f(n)，那么f是积性函数。）
- φ(a)=m,φ(b)=n,φ(a*b) = a(1-p1)(1-p2)...*b(1-q1)(1-q2)... = m*n
- 任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
- 可以得到，φ(x) = φ(p1)*φ(p2)*...*φ(pn) = x(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn).
一些（目前不需要的）性质：
- 当n>2时，φ(n)是偶数。
- 若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。
- n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n。
- 小于n的数中，与n互质的数的总和为：$φ(n) * n / 2 (n>1)$。
- 因为$gcd(n,i)=gcd(n,n-i)$，所以与n互质的数可以关于n/2对称，也就是相加等于n （nmd，真遇到这题了）
- 对于任何两个互质的正整数a,n(n>2)有：aφ(n)≡1(mod n) 此公式即 欧拉定理。
- 在上式的基础上，当n是质数时（即φ(n) = n-1），则上式有: an-1≡1(mod n)此公式即 费马小定理。
求欧拉函数：
1.埃拉托斯特尼筛
求1~n所有数的欧拉函数：每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。复杂度大概是O(nlognlogn)。
void euler(int n) { for (int i=1; i<=n; i++) phi[i]=i; for (int i=2; i<=n; i++) if (phi[i]==i)//i是质数 for(int j=i; j<=n; j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1); }
2.欧拉筛
求n的欧拉函数：每次找到一个最小的因数（一定为质因数），求出x*（1 - 1/p）。复杂度为O(n)。
int euler(int n) { int res=n,a=n; for(int i=2; i*i<=a; i++) { if(a%i==0) { res=res/i*(i-1); while(a%i==0) a/=i; } } if(a>1) res=res/a*(a-1); //有质数剩余 return res; } 对于x = p1k1 * p2k2...，只需要求一次（1-p1）（1-p2）...就可以了，
为了保证每个质因数只被使用一次，通过以上的while循环把x中的p1除尽。