欧拉函数

一、质因数与分解质因数 ？ 如果 一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的 质因数 。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、 公约数只有1的两个数,叫做 互质数 （欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目） 列：1到8中 ，与8互质的数有：1、3、 5、 7 1到12中，与12互质的数有： 1、 5、 7、 11、 看了一下午的欧拉函数，感觉都快看崩溃了，还好找到一个看得懂的博客。。。。 https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html 欧拉函数，用φ(n)表示 欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数 可以先在1到n-1中找到与n不互质的数，然后把他们减掉 比如φ(12) 把12质因数分解，12=2*2*3，其实就是得到了2和3两个质因数 然后把2的倍数和3的倍数都删掉 2的倍数：2,4,6,8,10,12 3的倍数：3,6,9,12 本来想直接用12 - 12/2 - 12/3 但是6和12重复减了 所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来 (＞﹏＜) 所以这样写12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3) 这叫什么，这叫容斥啊

欧拉函数，用φ(n)表示 欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目 辣么，怎么求哩？~(～o￣▽￣)～o 可以先在1到n-1中找到与n不互质的数，然后把他们减掉 比如φ(12) 把12质因数分解，12=2*2*3，其实就是得到了2和3两个质因数 然后把2的倍数和3的倍数都删掉 2的倍数：2,4,6,8,10,12 3的倍数：3,6,9,12 本来想直接用12 - 12/2 - 12/3 但是6和12重复减了 所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来 (＞﹏＜) 所以这样写12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3) 这叫什么，这叫容斥啊，容斥定理听过吧 比如φ(30)，30 = 2*3*5 所以φ(30) = 30 - 30/2 - 30/3 - 30/5 + 30/(2*3) + 30/(2*5) + 30/(3*5) - 30/(2*3*5) 但是容斥写起来好麻烦(￣.￣) 有一种简单的方法 φ(12) = 12*(1 - 1/2)*(1 - 1/3) = 12*(1 - 1/2 - 1/3 + 1/6) φ(30) = 30*(1 - 1/2)*(1 - 1/3)*(1 - 1/5) = 30*(1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/15 - 1/30) 你看( •̀∀•́ )，拆开后发现它帮你自动帮你容斥好 所以φ

刷题数：7（加CF） 今天看了质数+约数，算法竞赛进阶指南134~148页 就是那点东西吧，学了个线性数筛和欧拉函数的一些性质。 找了两个代表性题目，写了两篇博客： DFS+质数 https://www.cnblogs.com/2462478392Lee/p/11299858.html 欧拉函数线性筛 https://www.cnblogs.com/2462478392Lee/p/11299887.html 训练总结 稳住，一定要有耐心，有目的性，有规划。 来源： https://www.cnblogs.com/2462478392Lee/p/11299899.html

好像有一段时间没有写算法blog了。。 正好最近停课备战Noip，最近主要复习数论，那么就借此机会瞎扯一些简单的数论吧。。。原谅本人 数学渣 。 Part 1 欧拉函数、筛法 众所周知，筛法主流形态为2种，1种是质数筛，比较简单就不介绍了，另外一种是线性的欧拉筛，这里就和欧拉函数一起讲一下吧。。 欧拉函数 欧拉函数 \(( \varphi (x))\) 的定义是这么一个东西：在 \([1,x]\) 范围内与正整数 \(x\) 互质( \(gcd(a,x)=1\) ，后文简记为 \((a,x)=1\) )的正整数 \(a\) 的个数。 欧拉函数有很多性质，由于本人数学渣，这些性质就不给出证明了，想看证明的自行移步dalao博客qaq 一些简单的性质： I.欧拉函数为积性函数，但不是完全积性函数： ​ 通俗的讲就是 \(\varphi (xy) = \varphi(x) \varphi(y)\) 当且仅当 \((x,y)=1\) II.对于一个正整数N的素数幂分解 \(N=p1^{q1}*p2^{q2}*...*pn^{qn}\) ​ 于是有 \(\varphi (N)=N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*...*(pn-1)/pn\) 。 ​ 上述公式可以用欧拉函数的积性证明，这也是求一个大整数N欧拉函数值的最优策略，复杂度为 \(O(log n)\) 需要预处理出 \(

欧拉函数 在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。 通式： φ ( x ) = x ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) φ(x) = x\prod_{i = 1}^n (1 - \frac{1}{p_i}) φ ( x ) = x i = 1 ∏ n ​ ( 1 − p i ​ 1 ​ ) 其中p1,p2…pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。 注意：每种质因数只有一个。比如12=2 2 3那么φ(12)= 12 * (1-1/2)*(1-1/3)=4。 定理： 1.如果p是素数，那么φ(p )=p-1；反之如果p是一个正整数且满足φ(p )=p-1，那么p是素数。 2.如果p是素数，a是一个正整数，那么φ(p a )=p a -p a-1 。 证明：比p a 小的数有p a -1个，因为p a 只有一个素因子p，其中与p不互质的个数就是p的倍数个数p a-1 -1。 3.设n和m是互质的正整数，那么φ(nm)=φ(n)φ(m)。 因为欧拉函数是积性函数。 4.设n=p 1 a1 p 2 a2 …p k ak 为正整数n的素数幂分解，那么φ(n)=n(1-1/p 1 )(1-1/p 2 )…(1-1/p k ) (算法的核心) 5.设n是一个正整数，那么 ∑ d ∣ n φ ( d ) = n \sum_{d|n}φ(d)=n d ∣

目录 数论基础——欧拉函数 定义 通式 代码 性质 数论基础——欧拉函数 定义 对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。 通式 φ ( n ) = n × ( 1 − 1 / p 1 ) × ( 1 − 1 / p 2 ) × ( 1 − 1 / p 3 ) × . . . × ( 1 − 1 / p n ) \varphi(n)=n\times(1-1/p_1)\times(1-1/p_2)\times(1-1/p_3)\times...\times(1-1/p_n) φ ( n ) = n × ( 1 − 1 / p 1 ​ ) × ( 1 − 1 / p 2 ​ ) × ( 1 − 1 / p 3 ​ ) × . . . × ( 1 − 1 / p n ​ ) 即： φ ( n ) = n × ∏ i = 1 n p i − 1 p i \varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^{n}{\frac{p_i-1}{p_i}} φ ( n ) = n × ∏ i = 1 n ​ p i ​ p i ​ − 1 ​ p 1 、 p 2 、 p 3 . . . p n p_1、p_2、p_3...p_n p 1 ​ 、 p 2 ​ 、 p 3 ​ . . . p n ​ 是n（n>0）的质因数. 注意： φ ( 1 ) = 1

筛法求欧拉函数 1、如果这个数是质数，1～p-1都是质数 2、如果i % primes[j] == 0,说明i是p[j]的质因子则有： 3、如果i % primes[j] ！= 0，pj是(i*pj)的最小质因子，则有： Example 给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和。 输入格式 共一行，包含一个整数n。 输出格式 共一行，包含一个整数，表示1~n中每个数的欧拉函数之和。 数据范围 1≤n≤1061≤n≤106 输入样例： 6 输出样例： 12 #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 1000010; //primes存的每一个质数, cnt存质数下标 int primes[N], cnt; //欧拉函数 int phi[N]; bool st[N];//表示每个数是否被筛到 LL get_eulers(int n) { phi[1] = 1;//定义第一个 for (int i = 2; i <= n; i ++) { if (!st[i])//如果没被筛过 { primes[cnt ++] = i; phi[i] = i - 1;//如果这个数是质数，1～p-1都是质数 } //从小到大枚举所有质数 for

对于正整数n，欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目，表示为φ（n）。 性质1：对于素数p，φ（p）=p-1。 性质2：对于两个互质数p，q，φ（pq）=φ（p）*φ（q）=（p-1）（q-1）。（积性函数）（易证） 性质3：若n是质数p的k次幂，φ（n）=p k -p k-1 =（p-1）p k-1 ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 性质4： 因为：x可以分解成p1 q1 ×p2 q2 ×p3 q3 ……×pn qn （pi为x的质因数） 因为pi qi 两两互质，所以：φ（x）=φ（p1 q1 ）×φ（p2 q2 ）×φ（p3 q3 ）……×φ（pn qn ） （性质2） 所以：φ（x）=（p1 q1 -p1 q1-1 ）×（p2 q2 -p2 q2-1 ）×（p3 q3 -p3 q3-1 ）……×（pn qn -pn qn-1 ） （性质3） 提取x即得到公式。 性质5：n=Σφ（d|n） yu大有个牛逼的证法，把1到n的所有数除以n，变成n个既约分数，分母d只可能是n的约数。并且，以d为分母的分数个数正好是φ（d）。因此，分数总数n=Σφ（d|n）。 欧拉定理： 对于互质的正整数a和n，有 证明： ( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, …, xφ(n)} （mod n）， S = {a * x1, a * x2, … , a * xφ(n)}

定义：对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。 1、通式： 其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。 φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 注意：每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4 若n是质数p的k次幂， 因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。 2、欧拉函数是积性函数——若m,n互质， 3、当n为奇数时， ， 若n为质数则 ， 对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1。 4、欧拉函数和它本身不同质因数的关系： 欧拉函数ψ（N）=N{∏p|N}（1－1/p） ， 亦即: （P是数N的质因数） 如： ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4； ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8； 5、除了N=2,φ(N)都是偶数。 6、设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N)。 1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 int eular(int n) 4 { 5 int ret=1,i; 6 for(i=2;i*i<=n;i++) 7 { 8 if(n%i==0) 9 { 10 n/=i

欧拉函数直接计算公式 　　欧拉函数的定义: E（N）= ( 区间[1,N-1] 中与 N 互质的整数个数). 　　对于 积性函数 F（X*Y），当且仅当 GCD（X，Y）= 1 时， F（X*Y） = F（X）* F（Y） 　　任意整数可因式分解为如下形式： 　　　 其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　 　　所以 　　　　 　　因为 欧拉函数 E（X）为积性函数， 所以 　　　　 　　对于 ， 我们知道 因为pi 为质数，所以 [ 1, pi-1 ] 区间的数都与 pi 互质 　　对于 区间[ 1, ] ，共有 个数， 因为 只有一个质因子， 　　所以与 约数大于1 的必定包含 质因子 ， 其数量为 　　 　 所以　　 　 　　又 E（N）为积性函数，所以可得 ： 　　　 　 　　又因为 其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　 　　　 　 但是此计算公式，除法过多，所以计算速度较慢 　　在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值 ( P为N的质因子 ) 　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P==0) 则有:E(N)=E(N/P)*P; 　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P!=0) 则有:E(N)=E(N/P)*(P-1); 直接计算欧拉函数值代码： View Code #include<stdio