「主定理」

　　　　假设现在你一个程序，共循环n次，第一次所用时间为1，

　　　　第i次循环所用时间是前一次的x倍

　　　　为了好算假定x<1，那么可以猜到这个时间是收敛的

　　　　$T=\sum\limits_{i=0}^n x^i$

　　　　根据等比数列球和公式

　　　　$T=\frac{1-x^n}{1-x}$

　　　　当n趋于$\infty$时，

　　　　$T=\frac{1}{1-x}$

　　　　

　　　　根据常识这个值在$x<0.9$时和$1$没什么区别

　　　　而且$n$根本不用到$\infty$而是很快就收敛到那个地方

　　　　例如$x=0.5$时$5$次就收敛到了$1.96(2)$

　　　　$x=0.7$时$10$次$3.26(3.33)$

　　　　即使$x=0.99$也在$500$次是就到了$99.34(100)$

　　　　

　　　　所以在有限次递归的程序里，

　　　　近似可以看成整个程序的复杂度就是

　　　　第一次循环的复杂度与一个常数相乘

　　　　（哪怕$x$开到$0.99$这个常数才到$100$）

　　　　反过来，如果每一次循环都是前一次的$x$倍$(x>1)$

　　　　近似可以看成最后一层的复杂度与一个常数相乘，

　　　　有了这个认识可以来看主定理

 

　　　　现有一个递归问题，每个大小为n的节点需要$n^d$的复杂度

　　　　然后分裂成$a$个大小为$n/b$的子节点，当大小为1时回溯

　　　　复杂度是什么亚子？

　　　　$T=\sum\limits_{i=0}^{log_b n} a^i * (\frac{n}{b^i})^d$

　　　　$T=n^d * \sum\limits_{i=0}^{log_b n} (\frac{a}{b^d})^i$

　　　　这时需要讨论$a$和$b^d$的大小关系了

　　　　$a==b^d:$

　　　　　　$T=n^d log_b n$

　　　　$a<b^d:$（只关心第一层复杂度）

　　　　　　$T=n^d$

　　　　$a>b^d:$

　　　　　　$T=n^d (\frac{a}{b^d})^{log_b n}$

　　　　　　$T=n^d \frac{a^log}{b^{log*d}}$

　　　　　　$T=n^d \frac{a^log}{n^d}$

　　　　　　$T=a^{log_b n}=n^{log_b a}$

　　　　最后一步是怎么做到的

　　　　由于$log_b a * log_b n == log_b n * log_b a$

　　　　所以$b^{log_b a * log_b n}==b^{log_b n * log_b a}$

　　　　又因为$b^{log_b num}==num$

　　　　所以$a^{log_b n}==n^{log_b a}$

　　　　撒花了

 

　　　　（几乎全部来源于网络）

来源：https://www.cnblogs.com/yxsplayxs/p/12013060.html