小议斜透视投影矩阵(oblique projection matrix)

本文简介了斜透视投影矩阵(oblique projection matrix)相关的一些知识

Unity 的这篇文档提及了斜透视投影的一些内容,还列出了示例代码:

using UnityEngine;
using System.Collections;

public class ExampleScript : MonoBehaviour {
    void SetObliqueness(float horizObl, float vertObl) {
        Matrix4x4 mat  = Camera.main.projectionMatrix;
        mat[0, 2] = horizObl;
        mat[1, 2] = vertObl;
        Camera.main.projectionMatrix = mat;
    }
}

代码挺简单的,但是其中的原理文档中并未提及,本篇文章尝试简单讲解一下~

首先,我们要了解一下 Camera.projectionMatrix 这个矩阵的构成,简单起见,我们这里直接给出结论,有兴趣的朋友可以去看看完整的推导过程(很好的一篇文章,目前似乎还没有译文,有时间自己来翻译一下)(更新:自己简单翻译了一下,在这里):

Unity 中的 Camera.projectionMatrix 遵循 OpenGL 的规范约定,正常的透视投影情况下,该矩阵的构成如下:

$\begin{bmatrix} \dfrac{2n}{r - l} & 0 & \dfrac{r + l}{r - l} & 0 \\ 0 & \dfrac{2n}{t - b} & \dfrac{t + b}{t - b} & 0 \\ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

其中

$l$ 是左(垂直)裁剪面的坐标
$r$ 是右(垂直)裁剪面的坐标
$b$ 是下(水平)裁剪面的坐标
$t$ 是上(水平)裁剪面的坐标
$n$ 是近(深度)裁剪面的坐标
$f$ 是远(深度)裁剪面的坐标

正常的透视投影情况下,我们有:

$\begin{aligned} & r = -l \implies r + l = 0 \implies r - l = 2r & \hspace{20 mm} (1)\\ & t = -b \implies t + b = 0 \implies t - b = 2t & \hspace{20 mm} (2)\\ \end{aligned}$

所以上面的矩阵可以简化为:

$\begin{bmatrix} \dfrac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

现在我们需要调整这个矩阵来达到斜透视投影的效果,怎么做呢?拿水平方向的斜透视举例,我们要做的其实就是 偏移(shift) 左(垂直)裁剪面的坐标 和 右(垂直)裁剪面的坐标,即偏移上面矩阵中的 $l$ 和 $r$ , 假设我们偏移 $s$ 个坐标单位,则有:

$\begin{aligned} & l' = l + s & \hspace{20 mm} (3) \\ & r' = r + s & \hspace{20 mm} (4) \\ \end{aligned}$

考虑最开始的透视投影矩阵,由于我们变更了其中的 $l$ 和 $r$ (变更为了 $l'$ 和 $r'$ ),所以新的(斜)透视投影矩阵变为:

$\begin{bmatrix} \dfrac{2n}{r' - l'} & 0 & \dfrac{r' + l'}{r' - l'} & 0 \\ 0 & \dfrac{2n}{t - b} & \dfrac{t + b}{t - b} & 0 \\ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

将之前的 $(1),(2),(3),(4)$ 这四个等式代入计算,我们得到:

$\begin{bmatrix} \dfrac{n}{r} & 0 & \dfrac{s}{r} & 0 \\ 0 & \dfrac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

注意到相比之前简化的透视投影矩阵,只有一个矩阵元素发生了变化(第一行第三列,即M[0, 2]),从之前的 $0$ 变为了 $s/r$ ,而 $s/r$ 这个数值表示的则是(水平)倾斜度:

$s/r = 0$ 即 $s = 0$ ,表示不进行偏移,即(水平)倾斜度为 $0$
$s/r = 1$ 即 $s = r$ ,表示向右偏移整个右(垂直)裁剪面的坐标,即(水平)倾斜度为 $1$
$s/r = -1$ 即 $s = -r = l$ ,表示向左偏移整个右(垂直)裁剪面的坐标,即(水平)倾斜度为 $-1$
其他的一些数值情况即代表不同的(水平)倾斜度

垂直方向的斜透视也同样可以依此分析,假设垂直方向的偏移量为 $s'$ 坐标单位,我们能够得到:

$\begin{bmatrix} \dfrac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{n}{t} & \dfrac{s'}{t} & 0 \\ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

可以看到,相比之前简化的透视投影矩阵,新的(斜)透视投影矩阵也仅有一个矩阵元素发生了变化(第二行第三列,即M[1, 2]),并且该元素的数值同样表示(垂直)倾斜度( $s'/t$ ).

综上,如果我们给定了 (水平)倾斜度 和 (垂直)倾斜度,只要据此改变原透视投影矩阵的两个元素(设置 第一行第三列,即M[0, 2] 为(水平)倾斜度,设置 第二行第三列,即M[1, 2] 为(垂直)倾斜度)即可得到我们想要的斜透视投影矩阵~

讲到这里,如果再看一眼先前的示例代码的话,想必是一目了然了~

using UnityEngine;
using System.Collections;

public class ExampleScript : MonoBehaviour {
    void SetObliqueness(float horizObl, float vertObl) {
        Matrix4x4 mat  = Camera.main.projectionMatrix;
        mat[0, 2] = horizObl;
        mat[1, 2] = vertObl;
        Camera.main.projectionMatrix = mat;
    }
}

小议斜透视投影矩阵(oblique projection matrix)

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