牛顿-莱布尼茨公式

一世执手 提交于 2019-12-07 05:04:35
牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz formula),通常也被称为微积分基本定理,揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a,b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a,b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式,1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式,于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法,大大简化了定积分的计算过程。


定义

如果函数

在区间

上连续,并且存在原函数


弱化条件
如果函数

区间

上有定义,并且满足以下条件:
(1)在区间

上可积;
(2)在区间

上存在原函数


公式推导
推导一
定义一个变上限积分函数

,让函数

获得增量

,则对应的函数增量

根据积分中值定理可得,

,(ξ在x与x+Δx之间)

所以

因为

,所以

,即

所以


  

证毕。
推导二
因为函数

在区间

上可积,任取区间

的分割

在区间

上任取一点

,则有

其次,对于分割

,有

在区间

上对函数

应用拉格朗日中值定理得

其中

因此有

证毕。
定理推广

二重积分形式
设函数

在矩形区域

上连续,如果存在一个二元函数

,使得

则二重积分

曲线积分形式
D为单连通区域,

与格林公式和高斯公式的联系

在区域D上有连续的一阶偏导数,
若存在一个二元函数

,使得

在区域D中任意取两个点

,则对连接

的任意一条光滑曲线L
都有



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