牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz formula),通常也被称为微积分基本定理,揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a,b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a,b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式,1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式,于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法,大大简化了定积分的计算过程。
定义
如果函数
在区间
上连续,并且存在原函数
,
则
弱化条件
如果函数
区间
上有定义,并且满足以下条件:
(1)在区间
上可积;
(2)在区间
上存在原函数
;
则
公式推导
推导一
定义一个变上限积分函数
,让函数
获得增量
,则对应的函数增量
根据积分中值定理可得,
,(ξ在x与x+Δx之间)
,
所以
,
因为
,所以
,即
所以
即
证毕。
推导二
因为函数
在区间
上可积,任取区间
的分割
在区间
上任取一点
,则有
其次,对于分割
,有
在区间
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
因此有
证毕。
定理推广
二重积分形式
设函数
在矩形区域
上连续,如果存在一个二元函数
,使得
,
则二重积分
曲线积分形式
若存在一个二元函数
,使得
在区域D中任意取两个点
,则对连接
的任意一条光滑曲线L,
都有
来源:CSDN
作者:Soyoger
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