欧几里得
关于欧几里得定理这个东西，我在全网上也没有找到什么好的讲解。所以决定自己来写一写自己都证了好久
欧几里得的应用一般是用在求 \(gcd\) 的时候用的，用辗转相除发递归求 \(gcd\) 。
相信大家一般都是直接用的，没有想过去证明它，认为他很显然 是吧。
我最开始也是这样以为的，但是却发现自己证了好久。 肯定是我太菜了
不多废话。。。
我就只讲一下欧几里得求 \(gcd\) 的证明。好像欧几里得就这个作用
先写出众所周知的公式：
\(gcd(a,b) = gcd(b, a % b)\)
然后不断递归就行了。
现在来证明如上等式：
令 \(gcd(a, b) = c\)，
那么， \(a = c * k1\)，\(b = c * k2\) (\(k1\) 和 \(k2\) 互质)
那么， \(gcd(a, b) = gcd(c * k1, c * k2)\)
\(a % b = c * k1 % c * k2 = (k1 % k2) * c\)
上面这一步需要好好理解一下，如果\(k1\) 和 \(k2\)不互质的话就没有这个结论
证明如下：
原式可以展开如下 ： \(c * k1 = c * k2 * t + e\)
这个 \(t\) 可以为 \(0\)，而这个 \(e\) 就是 \(a % b\) 了
\(a % b = c * k1 - c * k2 * t = c * (k1 - k2 * t)\) 这里不就可以显然的看出 \(a % b\) 就是 \(c\) 的倍数了。
再写出它需要到达的状态:
\(gcd(b, a % b) = gcd(c * k2, c * k1 % c * k2)\)
在如上面所证，提取一个 \(c\)
=》 \(gcd(c * k2, c * (k1 % k2))\)
我们只需要证明这个东西和原式的 \(gcd\) 相等就行。
那么，我们还需要知道的是 \(k2\) 和 \(k1 % k2\) 互质。
那么就能保证两数的 \(gcd\) 是相等的。
令 \(k3 = k1 % k2\)
那么，