四元数
四元数（quaternion）是威廉·哈密顿提出的。四元数与复数类似，可以借助复数进行理解，复数：i^2=-1。于此对应的四元数基本性质是：i²=j²=k²=i·j·k=-1。
四元数基本运算：
加法：
定义两个四元数
四元数加法：p + q
跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。
乘法：
叉乘：
代数形式：
同矩阵，四元数的乘法有非可替换性，即pq不等于qp。
四元数点积： p · q
求共轭
q*=(-x, -y, -z, w)
我们着重考虑四元数与三维空间旋转移动之间的关系。
首先我们借助复数在二维空间移动来考虑四元数，在复数域，我们对一个复数乘i相当于在复数域逆时针旋转90度，，乘任一复数相当于旋转复数相对应的角度。
那么对于四元数，三维坐标系下给定一个矢量v，再给定一个旋转的单位四元素q，让v旋转q。
先将v改写成四元素的形式v = (x, y ,z, 0), 接下来要旋转v须用q前乘以矢量v，再后乘以q-1。即完成了q对应的旋转移动操作，其中q的实部使原先矢量移动，虚部使其旋转，位旋转轴。
在实际应用中四元数多和欧拉角转换，这里给出两者变换的公式：
姿态解算
对于上式的计算，首先我们需要知道一个矩阵：
即欧拉角坐标变化矩阵，实质上就是两个坐标系的转化，参数分别为Z轴旋转为偏航角（YAW）ψ，绕Y轴旋转为横滚角（ROLL）θ，绕X轴旋转为俯仰角（PITCH）φ。
使用四元数进行旋转：
经过矩阵运算后，
这里我们将矩阵右下角3*3的矩阵与欧拉角的矩阵对比我们可以得出三个方程，省略求解过程我们可以得到：
来源：https://blog.csdn.net/yinxian5224/article/details/99062883