前置知识
1.群
2.置换
3.置换群
问题背景
求解等价染色问题。(本质相同)
比如用k种颜色给一个2*2的方格染色,并认为旋转后相同的方案是本质相同的。 求有多少本质不同的方案。
Burnside引理
上面的问题也就是在求等价类个数了。
这个问题中,置换群就是恒等置换,转90,转180,转270。
先给出式子,将在后面证明。
其中C(f)为对于置换f,满足的着色方案(也简称着色,将置换f作用在c上)c个数(不动点个数)。
为置换群的大小(阶)。
证明
定义为着色c的稳定核,是置换群的子集。其中的置换f满足
由定义我们有
即总的不动着色 - 置换对数相等。
现在我们通过改变右式来证明burnside定理。
考虑稳定核大小与等价类个数的关系,在稳定核中置换f,g必定满足
联系群的运算性质,对于任意的f,g,若
那么这样的g实际上是. (这可以通过左右同乘得到。)
这说明,对于任意着色c与置换f,满足上式的g实际上有个(当然也包含f自己,左右同乘恒等置换就是)。再进一步推理,的不同结果应有个,换而言之,c所在等价类的大小便是上式。
那么就能得出下面的式子
,Sc是c所在等价类大小。
将式子带回原式右侧,便有
很显然,右边便是,这便是burnside定理了。
Polya计数
其实这个是burnside的进一步结论。
发现对于burnside来说,主要任务便是找置换群与求不动点个数。
polya便利用了一个求不动点的简单结论。
对于一个置换f,若他能被写为k个不相交循环,那么,其中a是颜色数目。
这个结论感性理解即可,即每一循环都染上相同的颜色,这样在置换后才能不变。
与burnside写在一起,是
m(f)是不相交循环个数。
来源:https://blog.csdn.net/jokerwyt/article/details/81335530