AHOI2014 奇怪的计算器 和 HDU5306 Gorgeous Sequence

拟墨画扇 提交于 2019-12-02 06:52:39

线段树秀操作题。

奇怪的计算器

有 N 个数,一共会对这 N 个数执行 M 个指令(对没个数执行的指令都一样),每一条指令可以是以下四种指令之一:(这里 a 表示一个正整数)

  1. 加上 a
  2. 减去 a
  3. 乘以 a
  4. 加上 a*X(X 是数最开始的初值)

该计算器有个奇怪的特点。每进行一个指令,若结果大于 R则变成 R,同理若结果小于 L,则变成 L。求这 N 个数最后的结果。

N, M ≤ 200000

题解

重要性质:无论题目里面的修改怎么执行,所有数的相对大小(即排名)不变。所以我们每次的chkmin和chkmax操作肯定是对一个排序后的后缀和前缀区间进行的。那么我们成功地将不连续的问题转化成了连续的问题。

所以我们可以针对题目设计懒标记 x=t1*x+t2*x0+t3。懒标记的合并很显然,而由于排名不变,所以区间的最大最小值还是很好维护的。

时间复杂度 O(n log n)。

CO int N=100000+10;
int L,R;
pair<int,int> p[N],q[N];

LL t1[4*N],t2[4*N],t3[4*N];
LL lp[4*N],rp[4*N],mn[4*N],mx[4*N];
#define lc (x<<1)
#define rc (x<<1|1)
void build(int x,int l,int r){
    t1[x]=1,t2[x]=t3[x]=0;
    lp[x]=mn[x]=q[l].first,rp[x]=mx[x]=q[r].first;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
}
IN void push_up(int x){
    mn[x]=mn[lc],mx[x]=mx[rc];
}
IN void add_tag(int x,LL k1,LL k2,LL k3){
    t1[x]*=k1,t2[x]=k1*t2[x]+k2,t3[x]=k1*t3[x]+k3;
    mn[x]=k1*mn[x]+k2*lp[x]+k3,mx[x]=k1*mx[x]+k2*rp[x]+k3;
}
IN void push_down(int x){
    if(t1[x]!=1 or t2[x] or t3[x]){
        add_tag(lc,t1[x],t2[x],t3[x]);
        add_tag(rc,t1[x],t2[x],t3[x]);
        t1[x]=1,t2[x]=t3[x]=0;
    }
}
void chkl(int x){
    if(mn[x]>=L) return;
    if(mx[x]<=L) return add_tag(x,0,0,L);
    push_down(x);
    if(mx[lc]<=L) add_tag(lc,0,0,L),chkl(rc);
    else chkl(lc);
    push_up(x);
}
void chkr(int x){
    if(mx[x]<=R) return;
    if(mn[x]>=R) return add_tag(x,0,0,R);
    push_down(x);
    if(mn[rc]>=R) add_tag(rc,0,0,R),chkr(lc);
    else chkr(rc);
    push_up(x);
}

int ans[N];

void query(int x,int l,int r){
    if(l==r){
        ans[q[l].second]=mn[x];
        return;
    }
    push_down(x);
    int mid=(l+r)>>1;
    query(lc,l,mid),query(rc,mid+1,r);
}

int main(){
    int n=read<int>();
    read(L),read(R);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        char opt[2];scanf("%s",opt);
        if(opt[0]=='+') p[i].first=1;
        else if(opt[0]=='-') p[i].first=2;
        else if(opt[0]=='*') p[i].first=3;
        else p[i].first=4;
        read(p[i].second);
    }
    int m=read<int>();
    for(int i=1;i<=m;++i) read(q[i].first),q[i].second=i;
    sort(q+1,q+m+1);
    build(1,1,m);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(p[i].first==1) add_tag(1,1,0,p[i].second);
        else if(p[i].first==2) add_tag(1,1,0,-p[i].second);
        else if(p[i].first==3) add_tag(1,p[i].second,0,0);
        else add_tag(1,1,p[i].second,0);
        if(mx[1]>R) chkr(1);
        if(mn[1]<L) chkl(1);
    }
    query(1,1,m);
    for(int i=1;i<=m;++i) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

Gorgeous Sequence

There is a sequence a of length n. We use ai to denote the i-th element in this sequence. You should do the following three types of operations to this sequence.

0 x y t: For every x≤i≤y, we use min(ai,t) to replace the original ai's value.
1 x y: Print the maximum value of ai that x≤i≤y.
2 x y: Print the sum of ai that x≤i≤y.

分析

吉司机线段树板子题。

1和2操作很简单,0操作很难,一个一个改时间肯定不允许,但是又没什么办法可以直接全改掉。

结合题目问的是区间最大值和区间和,那么就思考操作 0 会对区间最大值和区间和有什么影响,于是就有了以下方法:

维护 3 个值,区间最大值,区间严格次大值,区间最大值的个数。然后我们每次做0操作的时候,就会有3种情况。

  1. t >= 区间最大值, 这时每个值都不用修改,直接返回。
  2. 区间次大值 < t < 区间最大值,此时只有最大值会变,又已经求得了最大值的个数,所以我们可以直接更新这段的sum和max。
  3. 其他情况。无法直接对当前情况修改,所以继续搜两个儿子,直到搜到前两种情况为止。

我们可以把区间的最大值看做是这个区间的标记,因为每次更新的时候只会更新到(区间次大值 < t < 区间最大值)的情况,然后会修改sum和max,所以以后一旦进入这个区间的子树,必须先更新这个子树的max和sum。于是就有了pushdown()的写法,它就是负责把当前区间的sum和mx信息传给子树。

const int MAXN=1e6+7;

int ql,qr,v;

struct SegTree
{
    ll sum[MAXN<<2];
    int maxv[MAXN<<2],num[MAXN<<2],secv[MAXN<<2];
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
    inline void pushup(int now)
    {
        sum[now]=sum[lson]+sum[rson];
        maxv[now]=max(maxv[lson],maxv[rson]);
        if(maxv[lson]==maxv[rson])
        {
            num[now]=num[lson]+num[rson];
            secv[now]=max(secv[lson],secv[rson]);
        }
        else
        {
            num[now]=maxv[lson]>maxv[rson]?num[lson]:num[rson];
            secv[now]=max(secv[lson],secv[rson]);
            secv[now]=max(secv[now],min(maxv[lson],maxv[rson]));
        }
    }
    
    void build(int now,int l,int r)
    {
        if(l==r)
        {
            sum[now]=_read();
            maxv[now]=sum[now];
            num[now]=1;
            secv[now]=-1;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(lson,l,mid);
        build(rson,mid+1,r);
        pushup(now);
    }
    
    inline void puttag(int now,int x)
    {
        if(x>=maxv[now])
            return;
        sum[now]-=(ll)num[now]*(maxv[now]-x);
        maxv[now]=x;
    }
    
    inline void pushdown(int now)
    {
        puttag(lson,maxv[now]);
        puttag(rson,maxv[now]);
    }
    
    void change(int now,int l,int r)
    {
        if(v>=maxv[now])
            return;
        if(ql<=l&&r<=qr&&secv[now]<v)
        {
            puttag(now,v);
            return;
        }
        pushdown(now);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(ql<=mid)
            change(lson,l,mid);
        if(qr>=mid+1)
            change(rson,mid+1,r);
        pushup(now);
    }
    
    ll qmax(int now,int l,int r)
    {
        if(ql<=l&&r<=qr)
        {
            return maxv[now];
        }
        pushdown(now);
        int mid=(l+r)>>1;
        ll ans=0;
        if(ql<=mid)
            ans=max(ans,qmax(lson,l,mid));
        if(qr>=mid+1)
            ans=max(ans,qmax(rson,mid+1,r));
        return ans;
    }
    
    inline ll qsum(int now,int l,int r)
    {
        if(ql<=l&&r<=qr)
        {
            return sum[now];
        }
        pushdown(now);
        int mid=(l+r)>>1;
        ll ans=0;
        if(ql<=mid)
            ans+=qsum(lson,l,mid);
        if(qr>=mid+1)
            ans+=qsum(rson,mid+1,r);
        return ans;
    }
}Tree;

int n,m;

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    int T=_read();
    while(T--)
    {
        n=_read();m=_read();
        Tree.build(1,1,n);
        while(m--)
        {
            int opt=_read();
            if(opt==0)
            {
                ql=_read();qr=_read();v=_read();
                Tree.change(1,1,n);
            }
            else if(opt==1)
            {
                ql=_read();qr=_read();
                printf("%lld\n",Tree.qmax(1,1,n));
            }
            else if(opt==2)
            {
                ql=_read();qr=_read();
                printf("%lld\n",Tree.qsum(1,1,n));
            }
        }
    }
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;
}

BZOJ4695 最假女选手是这道题的复杂版。

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