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E. Sequential operations on Sequence
题意
给定长为 n 的一个序列， 第 i 个数为 i， 有 Q 次操作，每次给定一个 q[i]， 表示将原序列无限延长（第 i 个数为 a[(i - 1) % n + 1]）后， 截取前 q[i] 个数作为新序列。输出最终序列中每个数的出现次数。
n, q <= 100000, q[i] <= 1e18
题解
考虑两次操作 i, j， 如果 i < j 且 q[i] >= q[j], 那么操作 i 是没有意义的。从而我们可以得到一个升序的 q[i] 数组。
记 Solve(x) 为考虑最终序列的前 i 个数的答案数组， 我们要求的就是 Solve(q[m])
如果 x <= q[1], Solve(x) 可以直接求； 否则，找到一个最大的 i 满足 q[i] <= x, 就有 Solve(x) = x / q[i] * Solve(q[i]) + Solve(x % q[i])
x % q[i] < x / 2， 从而一段区间只会被这样切开 O(logx) 次
直到所有区间都被切得长度小于 q[1] 就可以打标记 O(n) 出解了。
F. Fraction of Fractal
题意
给定一个 n * m 的方格图，有若干点被染成黑色。黑色的点保证联通。递归定义一组图形：
第 0 个图形是一个黑色的点。
若第 k 个图形的大小是 a * b, 第 k + 1 个图形的大小为 (a * n) * (b * m),对于每一个 a * b 的区域，若在方格图中为黑色，这块区域被画成第 k 个图形；否则这块区域全白。
求第 k 个图形黑色联通块的个数。
n, m <= 1000, k <= 1e18
题解
先定义一行连通当且仅当这一行最左边和最右边的格子都为黒色， 列连通同理。
如果存在一行联通且存在一列联通，可以发现整张图必然联通。从而答案为1。
如果不存在任意一行或一列联通，设黒色点个数为 c, 答案就是 c ^ (k - 1)
下面只考虑行连通的情况。
设方格中满足 (s[i][j] == '#' && s[i][j + 1] == '#') 的点数为 t， 可以猜到答案的递推式大概是 f(i) = c * f(i - 1) - g(i), 其中 f(1) = c, g(2) = t
首先 k > 1 的图案中如果两块区域位于网格图中的不同行，他们一定是不连通的。
递推 g(i + 1) 时， 考虑对 g(i) 有贡献拼接的时候， 如果第 i 行联通， 他们对应的这一行就会拼成一个联通块。
于是记连通行数为d, 有 g(i + 1) = g(i) * d。
直接上矩阵快速幂即可。