本文介绍了2-SAT输出一种方案的方法与证明,以及一种 $ O(nm) $ 复杂度输出最小字典序的方法.
2-SAT输出一种方案
先判定是否有解,缩点后得到一张DAG.对于命题组 $ (i,i') $ ,我们选择 $ i $ 和 $ i' $ 中拓朴序靠后的一个即可.
同时由于Tarjan缩点时本来就是拓朴序倒序缩点的,只需要选择 $ i $ 和 $ i' $ 中所属强连通分量中编号小的那个即可.
下面证明这种方案的正确性.我们使用反证法.
假如这样的做法不对,也就是说,会存在一条边 $ (u,v) $ ,使得命题 $ u $ 为 $ true $ 而命题 $ v $ 为 $ false $ .
因为命题 $ u $ 为 $ true $ ,我们得到命题 $ u' $ 的拓扑序在命题 $ u $ 之前.因为存在边 $ (u,v) $ ,我们得到命题 $ u $ 的拓扑序在命题 $ v $ 之前.而2-SAT问题具有对称性,即逆否命题之间真假性相同.如果选 $ u $ 则必须选 $ v $ ,反过来如果不选 $ v $ 则一定不能选 $ u $ ,所以就存在边 $ (v',u') $ ,从而拓扑序的顺序应该是 $ (v',u',u,v) $ , 那么 $ v $ 的拓扑序在 $ v' $ 之后,这与 $ v $ 为 $ false $ 矛盾.
2-SAT字典序最小方案
从一号点开始,先强制它为 $ true $ ,如果无解再强制它为 $ false $ ,一个一个确定下去即可.
NOI2017 游戏
题意
有三种赛车 $ A $ , $ B $ , $ C $ 和四种地图 $ a $ , $ b $ , $ c $ , $ x $ .地图 $ a/b/c $ 表示不能用赛车 $ A/B/C $ ,地图 $ x $ 可以用任意赛车.现有 $ n $ 张地图和 $ m $ 个限制,第 $ i $ 个限制形如:如果图 $ x $ 选择了赛车 $ u $ ,那么图 $ y $ 就必须选择赛车 $ v $ .要求判定是否有解,有解输出任意一种方案.
数据范围:设 $ x $ 型地图有 $ d $ 张, $ n,m≤100000,d≤8 $
题解
$ x $ 型地图可以看做在 $ a $ 型地图和 $ b $ 型地图中任选一个, $ 2^d $ 枚举一下.
剩下的就是直接 $ 2-SAT $ 跑一下输出方案.
注意命题和它的逆否命题要同时加入.
#pragma GCC optimize("2,Ofast,inline") #define fi first #define se second #define LL long long #define pb push_back #define mp make_pair #define pii pair<int, int> #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 3e5 + 10; const int mod = 1e9 + 7; template <typename T> void read(T &x) { int f = 0; register char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') f |= (c == '-'), c = getchar(); for (x = 0; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ '0'); if (f) x = -x; } int n, m, d, E, V; int a[N], b[N], s[N]; int u[N], v[N]; char S[N]; int fir[N], nex[N << 1], arr[N << 1], num[N][3]; int tim, sccn, scc[N], low[N], dfn[N]; stack<int> st; inline void Add_Edge(int x, int y) { nex[++E] = fir[x]; fir[x] = E; arr[E] = y; } void dfs(int x) { dfn[x] = low[x] = ++tim; st.push(x); for (int i = fir[x]; i; i = nex[i]) { if (!dfn[arr[i]]) { dfs(arr[i]); low[x] = min(low[x], low[arr[i]]); } else if (!scc[arr[i]]) low[x] = min(low[x], dfn[arr[i]]); } if (low[x] == dfn[x]) { int y; ++sccn; do { y = st.top(); scc[y] = sccn; st.pop(); } while (y != x); } } void check() { memset(fir, 0, sizeof(int) * (V + 1)); memset(dfn, 0 ,sizeof(int) * (V + 1)); memset(scc, 0, sizeof(int) * (V + 1)); V = E = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 0; j < 3; ++j) { num[i][j] = 0; if (s[i] != j) num[i][j] = ++V; } } for (int i = 1; i <= m; ++i) { if (!num[a[i]][u[i]]) continue; if (!num[b[i]][v[i]]) { int o = -1; for (int j = 0; j < 3; ++j) { if (j != u[i] && num[a[i]][j]) { o = j; } } Add_Edge(num[a[i]][u[i]], num[a[i]][o]); Add_Edge(num[a[i]][o] ^ 1, num[a[i]][u[i]] ^ 1); } else { Add_Edge(num[a[i]][u[i]], num[b[i]][v[i]]); Add_Edge(num[b[i]][v[i]] ^ 1, num[a[i]][u[i]] ^ 1); } } sccn = tim = 0; for (int i = 1; i <= V; ++i) { if (!dfn[i]) dfs(i); } for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (scc[num[i][0]] == scc[num[i][1]]) return; if (scc[num[i][1]] == scc[num[i][2]]) return; if (scc[num[i][0]] == scc[num[i][2]]) return; } for (int i = 1; i <= n; ++i) { int u, v; if (s[i] == 0) u = 1, v = 2; if (s[i] == 1) u = 0, v = 2; if (s[i] == 2) u = 0, v = 1; printf("%c", scc[num[i][u]] < scc[num[i][v]] ? u + 'A' : v + 'A'); } puts(""); exit(0); } void Dfs(int x) { if (x == n + 1) return (void) (check()); if (s[x] != -1) Dfs(x + 1); else { s[x] = 0; Dfs(x + 1); s[x] = 1; Dfs(x + 1); s[x] = -1; } } int main() { read(n); read(d); scanf("%s", S + 1); for (int i = 1; i <= n; ++i) { s[i] = (S[i] <= 'c') ? S[i] - 'a' : -1; } read(m); for (int i = 1; i <= m; ++i) { char x, y; scanf("%d %c %d %c", &a[i], &x, &b[i], &y); u[i] = x - 'A'; v[i] = y - 'A'; } Dfs(1); puts("-1"); return 0; }