图论――因子分解
因子分解相关概念 1、因子分解是图分解的一种方法 2、图G的因子 G i G_i G i ,指至少包含G的一条边的生成子图 (生成子图:包含原图所有顶点,边不管,若边数为m,则不同的生成子图有 2 m 2^m 2 m 个,不同的生成子图≠不同构) 3、图G的因子分解:指将G分解为若干边不重的因子之并 4、图G的n因子:指G的n度正则因子 5、若图G可以分解为若干n因子之并,称G是可n因子分解的 一、图的一因子分解 \quad 图的一个一因子实际上就是图的一个完美匹配的导出子图。一个图能够作一因子分解,也就是它能够分解为若干边不重的 完美匹配的导出子图之并 。 定理1: K 2 n K_{2n} K 2 n 可一因子分解 推论:每个k(k>0)正则偶图G是一可因子分解的 证明: 证明:因为每个k (k>0)正则偶图G存在完美匹配,设Q是它的一个一因子,则G-Q还是正则偶图,由归纳知,G可作一因子分解。 定理2:具有H圈的3正则图可一因子分解 证明:从三正则图中抽取H圈,显然剩下的边构成G的一个一因子,而H圈是偶圈,可分解为两个一因子。故G可分解为三个一因子。 定理3:若三正则图有割边,则它不能一因子分解 证明:假设G的三个一因子为 G 1 , G 2 , G 3 G_1, G_2, G_3 G 1 , G 2 , G 3 ,假设割边 e ∈ G 1 e\in G_1 e ∈ G 1