叶子结点

二叉树是最常用的数据结构之一，笔者过去一直将关注点放在复杂的树结构（例如红黑树，自平衡树），认为那些才是树的重要应用，但当重新由基本看起，才发现树的基本定中就隐藏着树这一结构的精髓。尽管是些浅薄蠢笨的理解和推演，但笔者还是满怀兴奋的想要将它记录下来。 一、二叉树的定义 二叉树的定义不用多说，很多书本上都有明确的定义，但有些细节是笔者过去所没有注意的，先给出殷人昆教授对于二叉树的基本定义—— 二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。 可以看出二叉树的定义是递归的，根结点的子树仍然是二叉树，到达空子树时递归定义结束。 一般来说，关于树的术语对于二叉树都是适用的，但应该明确的是二叉树不是树，理由如下： 树在图论中被视为用n-1条边连接n个结点的的特殊的图。图的顶点结合非空，故树的顶点非空。图论中另外定义了N叉树，它可以是空树，二叉树属于N叉树。 非空二叉树有根，根结点的子树有左右之分，次序不能颠倒；若其中一棵子树为空，则另一棵子树也必须保持左右之分。树可以没有根（自由树）；即使有根，其子树也没有这种区分。 那么，这就出现一个问题——二叉树的叶结点无子女，是否可称它为无子树？ 根据定义，应该是不能的，因为可认为叶子点的左右子树为空子树。 虽然认识这一区别的目的并非应试，但笔者还是提一句

这周学习了数据结构中的树，看了郝斌的数据结构视频。。。虽然讲的很浅很浅但是对于我这么笨的人来说刚好能看懂。又通过小组学姐的讲解对树有了一个初步的认识，现在将学到的知识总结一下=、= 一、树的定义 树是由n(n>=0)个节点构成的有限集合，n = 0时称为空树。在任意一颗非空树中： 1)、有且只有一个根节点 2)、除根节点以外，其余节点分成m(m > 0)个互不相交的有限集合T1、T2、。。。Tm,其中每一个集合又都是一棵树 =、=好吧，我承认这是抄书的。下图就一棵树，怎么长得不像树。。。确实不像树，像葡萄(=、=) (图片来自维基百科) 二、树中的术语 1)、结点：包含一个数据元素或指向其他元素的索引(就是上图中的一个小圆圈=、=) 2)、结点的度：一个结点的子树个数(上图中一个圆圈后边跟的几条线，注意是它后边挂的，不包括挂它的那根) 3)、树的度：树中结点的最大度 4)、终端结点(叶子结点)：度为零的结点(图中那些挂在最后孤单的那些圆圈=、=) 5)、分支结点：度不为零的结点，也成非终端结点 6)、孩子结点：一个结点对的直接后继(就是直接挂在它后边的圆圈) 7)、双亲结点：一个结点的直接前驱(挂它的那个圈、问:为什么叫双亲结点而不叫父结点或母结点？答:男女平等=、=) 8)、结点的层次：根为第一层，根的孩子结点为第二层，以此类推。。。 9)、树的高度(深度)：树中结点的最大层次

二叉搜索树/二叉排序树/二叉查找树 是二叉树、任意结点的左子树的值均小于根节点的值，右子树均大于根节点的值 没有键值相等 平衡二叉树(AVL树) 定义 左右字数的高度差的绝对值不超过1，并且两子树都是平衡二叉树 没有键值相等 高度差，又名平衡因子，范围为[-1,0,1]，在此规定==平衡因子 bf = 右子树的高度-左子树的高度== 插入操作 当有新的结点插入之前，该树一定是一个平衡二叉树 按照普通搜索树的方式插入结点cur 插入之后，调整cur的 parent.bf：插入到左边 bf --；插入到右边 bf++； bf变为3种值： （1）0：插入结束 （2）-1/1：调整 bf 的过程向上蔓延 （3 ）-2/2：进行修复， 对失衡的情况进行修复 插入完成之后，该树依然是一个平衡二叉树 具体步骤 通过查找，找到key的合适的位置并将key插入（如果已经存在，则放弃查找） 设置并修改平衡因子 设置新插入的结点 cur 的平衡因子，新插入的结点的平衡因子是 0（未调整的），因为一定插入在叶子结点 修改 cur 的父节点 parent 的平衡因子 bf 如果cur是parent的左子树，parent.bf -= 1 如果cur是parent的右子树，parent.bf += 1 修改parent.bf 之后，parent.bf 的取值范围为 [-2,-1,0,1,2] 具体情况如下表：

什么是索引？ “索引”是为了能够更快地查询数据。比如一本书的目录，就是这本书的内容的索引，读者可以通过在目录中快速查找自己想要的内容，然后根据页码去找到具体的章节。 数据库也是一样，如果查询语句使用到了索引，会先去索引里面查询，取得数据所在行的物理地址，进而访问数据。 索引的优缺点 优势：以快速检索，减少I/O次数，加快检索速度；根据索引分组和排序，可以加快分组和排序； 劣势：索引本身也是表，因此会占用存储空间。索引的维护和创建需要时间成本，这个成本随着数据量增大而增大；构建索引会降低数据表的修改操作（删除，添加，修改）的效率，因为在修改数据表的同时还需要修改索引表。 索引的分类 在MySQL中，常见的索引类型有：主键索引、唯一索引、普通索引、全文索引、组合索引。创建语法分别为： 其中，组合索引又称为多列索引，上述代码中最后一个例子就是建立了3列的索引。MySQL在根据索引查询时，会遵循“最左匹配”原则，即先根据col1的条件查，再根据col2的条件查，然后再根据col3的条件去查。 如果跳过了一个列直接查后面的列，比如下面的语句，就不能使用上面创建的索引了： 这里有一个小技巧，如果你前面的列是一个简单的枚举类型，比如性别等，可以用在where语句中加 col1 in(MALE, FEMALE) 来“跳过” col1 列，并使用上述索引。 对于某列如果是字符串且比较长（比如UUID

有关概念：https://www.cnblogs.com/schips/p/10630533.html 参考：　　https://blog.csdn.net/bojie5744/article/details/30744767 计算公式 https://blog.csdn.net/stf1065716904/article/details/80874065 1. n个节点的二叉树一共有((2n)!)/(n! * (n+1)!)种 　　catalan数，C(n)=(1/(n+1))*((2*n)!/(n!*n!)) 2. n层二叉树的第n层最多为2^(n-1)个 3. 二叉树节点计算公式 N = n0+n1+n2，度为0的叶子节点比度为2的节点数多一个。N=1*n1+2*n2+1 4. 对任何一棵二叉树T，如果其终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0=n2+1 5. 具有n个节点的完全二叉树的深度为log2(n) + 1 6. B-树，除叶子与根节点以外的任意结点的分支数介于[m/2，m](取上整) 7. 具有n 个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1 二叉树的度计算 有一个计算二叉树节点的公式，相信很多人都知道： 　　度为0的节点数为度为2的节点数加1，即n0=n2+1，知道这个公式，相关题目就可以轻松解决； 下面来讨论下如何得出这个公式的: 设： k:总度数 k+1

day03 【List、Set、数据结构、Collections】 主要内容 数据结构 List集合 Set集合 Collections 教学目标 [ ] 能够说出List集合特点 [ ] 能够说出常见的数据结构 [ ] 能够说出数组结构特点 [ ] 能够说出栈结构特点 [ ] 能够说出队列结构特点 [ ] 能够说出单向链表结构特点 [ ] 能够说出Set集合的特点 [ ] 能够说出哈希表的特点 [ ] 使用HashSet集合存储自定义元素 [ ] 能够说出可变参数的格式 [ ] 能够使用集合工具类 [ ] 能够使用Comparator比较器进行排序 第一章 数据结构 2.1 数据结构有什么用？ 当你用着java里面的容器类很爽的时候，你有没有想过，怎么ArrayList就像一个无限扩充的数组，也好像链表之类的。好用吗？好用，这就是数据结构的用处，只不过你在不知不觉中使用了。 现实世界的存储，我们使用的工具和建模。每种数据结构有自己的优点和缺点，想想如果Google的数据用的是数组的存储，我们还能方便地查询到所需要的数据吗？而算法，在这么多的数据中如何做到最快的插入，查找，删除，也是在追求更快。 我们java是面向对象的语言，就好似自动档轿车，C语言好似手动档吉普。数据结构呢？是变速箱的工作原理。你完全可以不知道变速箱怎样工作，就把自动档的车子从 A点 开到 B点

3 月，跳不动了？>>> 先来看看8种排序之间的关系： 下图是各种排序的比较： 1， 直接插入排序 （1）基本思想：在要排序的一组数中，假设前面(n-1) [n>=2] 个数已经是排 好顺序的，现在要把第n个数插到前面的有序数中，使得这n个数 也是排好顺序的。如此反复循环，直到全部排好顺序。 在插入算法中，如果有一个最小的数在数组的最后面，用插入算法就会从最后一个 位置移动到第一个。 （2）实例 package cglib; public class StringNumber { public static void insertSort(int[] a) { if (a == null || a.length < 2) { return; } int length=a.length; //数组长度 int j; //当前值的位置 int i; //指向j前的位置 int key; //当前要进行插入排序的值 //从数组的第二个位置开始遍历值 for(j=1;j<length;j++){ key=a[j]; i=j-1; System.out.println(" 将i="+i); //a[i]比当前值大时，a[i]后移一位,空出i的位置，好让下一次循环的值后移 while(i>=0 && a[i]>key){ System.out.println("进 i="+i); a[i+1]

胜者树和败者树都是完全二叉树，是树形选择排序的一种变型。每个叶子结点相当于一个选手，每个中间结点相当于一场比赛，每一层相当于一轮比赛。 不同的是，胜者树的中间结点记录的是胜者的标号；而败者树的中间结点记录的败者的标号。 胜者树与败者树可以在log(n)的时间内找到最值。任何一个叶子结点的值改变后，利用中间结点的信息，还是能够快速地找到最值。在k路归并排序中经常用到。 一、胜者树 胜者树的一个优点是，如果一个选手的值改变了，可以很容易地修改这棵胜者树。只需要沿着从该结点到根结点的路径修改这棵二叉树，而不必改变其他比赛的结果。 Fig. 1 Fig.1是一个胜者树的示例。规定数值小者胜。 b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为3； b3 PK b0，b3胜b0负，内部结点ls[2]的值为3； b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为1； b3 PK b1，b3胜b1负，内部结点ls[1]的值为3。. 当Fig. 1中叶子结点b3的值变为11时，重构的胜者树如Fig. 2所示。 b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为3； b3 PK b0，b0胜b3负，内部结点ls[2]的值为0； b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为1； b0 PK b1，b1胜b0负，内部结点ls[1]的值为1。. Fig. 2

20162322 2017-2018-1 《程序设计与数据结构》第七周学习总结 教材学习内容总结 重要概念、性质的强调 度 （order）：树的度表示树中任意结点的最大子结点数。 树的 高度 （height; 或 深度 ， depth）：树从根到叶结点的最长路径的长度。 满树 与 完全树 二叉树的性质 性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i≥1）。（数学归纳法可证） 性质2：深度为k的二叉树最多有2k-1个结点（k≥1）。（由性质1，通过等比数列求和可证） 性质3：一棵二叉树的叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。 完全二叉树的性质： 性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2n) + 1 。 性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为floor(log2n) + 1 ）的结点按层序编号，则对任一结点i（1≤i≤n）有： （1） 如果i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i > 1，则其双亲PARENT(i)是结点 floor((i)/2)。 （2）如果2i > n，则结点i无左孩子；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i。 （3）如果2i + 1 > n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i + 1。 树的遍历 以下所有遍历都是基于先左后右原则 所谓的 先序遍历、中序遍历和后序遍历

3 月，跳不动了？>>> 介绍另一种平衡二叉树：红黑树（ Red Black Tree ），红黑树由 Rudolf Bayer 于 1972 年发明，当时被称为平衡二叉 B 树（ symmetric binary B-trees ）， 1978 年被 Leonidas J. Guibas 和 Robert Sedgewick 改成一个比较摩登的名字：红黑树。 红黑树和之前所讲的 AVL 树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。自从红黑树出来后， AVL 树就被放到了博物馆里，据说是红黑树有更好的效率，更高的统计性能。不过在我了解了红黑树的实现原理后，并不相信这是真的，关于这一点我们会在后面进行讨论。 红黑树和 AVL 树的区别在于它使用颜色来标识结点的高度，它所追求的是局部平衡而不是 AVL 树中的非常严格的平衡。之前我们在讲解 AVL 树时，已经领教过 AVL 树的复杂，但 AVL 树的复杂比起红黑树来说简直是小巫见大巫。红黑树是真正的变态级数据结构。 红黑树的平衡 红黑树首先是一棵二叉查找树，它每个结点都被标上了颜色（红色或黑色），红黑树满足以下 5 个性质： 1、 每个结点的颜色只能是红色或黑色。 2、 根结点是黑色的。 3、 每个叶子结点都带有两个空的黑色结点（被称为黑哨兵），如果一个结点 n 的只有一个左孩子，那么 n