小波变换

小波变换网文精粹：小波变换教程(七) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/359431362010911809737/ 七、小波变换基础：傅立叶变换(二) 现在，看下图，信号是余弦信号，仍然有四个频率分量，不过这四个分量出现在不同时刻： 图2.4 下面是它的傅立叶变换： 图2.5 在上图中，与你想象的一样，图形与前一个信号的傅立叶变换几乎一样，仔细看，图中也有四个尖峰对应四个频率。我可能把这两张图弄得看起来比较像，但这不并不是有意为之。尖峰中出现的噪声所代表的频率分量在信号中是存在的但是由于它们的幅值很小，不是组成信号的主要分量，我们在图中看到的这些，是由于频率突变产生的。特别需要注意的是，信号中的频域都在是改变的（有一些合适的滤波手段可以将频域中的噪声去掉，但是这些与我们要讲的话题无关，如果你需要有更详细的信息，请给我发邮件）。 现在你应该理解了傅立叶变换的基本概念，什么地方可以用什么地方不可以用

小波变换网文精粹：小波变换教程(八) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/359431362010911809737/ 八、小波变换基础：短时傅立叶变换(一) 那么，我们怎样把这些时间信息加到频率图中去呢？让我们更进一步的看一下这个问题。 傅立叶变换有什么缺点？它不适用于非平稳信号。让我们想一下这个问题：我们能不能假定部分非平稳信号是稳定的呢？ 答案是肯定的。 看上面第三幅图，每个的时间段内，信号都是平稳的。 你可能会问下面这个问题？ 怎样确定我们假定信号为平稳的那段时间足够短呢？ 如果它确实很短，那么它就太短了，我们用它什么也干不了，实际上，这也很正常。我们要用物理定律来玩这个游戏。 如果我们假定信号为稳定的这个时间段很短，那么我们可以从窄窗中来观察信号，窗口要窄到我们从窗里看到的信号确实是平稳的。 研究者们最终确定的这个数学逼近，作为傅立叶变换的一个修改版本，叫做短时傅立叶变换。

小波变换网文精粹：小波变换教程(九) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/359431362010911852159/ 九、小波变换基础：短时傅立叶变换(二) 下面这幅图有助于你更好的理解这一点： 图2.7 彩色的类似高斯函数的是窗函数。t=t1’时刻的窗为红色，t=t2’时刻的窗为蓝色，t=t3’ 的窗为绿色。这些都是对不同时刻的不同的傅立叶变换的响应。因此，我们就得到了信号的一个时频表示(TFR)。 可能理解这一点最好的方式是举例子。首先，因为我们的变换是对时间和频率的函数（不像傅立叶变换，仅仅是对频率的函数），它是二维的（如果加上幅度则是三维）。以下图所示的非平稳信号为例： 图 2.8 在这个信号中，在不同时刻有四个频率分量。0-250ms内信号的频率为300Hz，其余每个250ms的间隔的信号频率分别为200Hz，100Hz和50Hz。很明显，这是一个非平稳信号，让我们看一看它的短时傅立叶变换： 图 2.9

小波变换网文精粹：小波变换教程(十) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/3594313620109118101583/ 十、小波变换基础：短时傅立叶变换(三) 为了更明白的理解这个问题，让我们看一些例子：我现在有四个不同宽度的窗函数，我们将一一用这些窗函数做傅立叶变换，看看到底发生了什么： 我们用到的窗函数是一个简单的高斯函数，如下式： w(t)=exp(-a*(t^2)/2); 其中，a代表窗口宽度，t代表时间。接下来这幅图显示了四个用宽度a来决定的不同支撑域的窗函数。请忽略a的值，因为用来计算的时间间隔同时决定了函数。注意四幅图的宽度。上面这个例子中的时间以秒为单位，a=0.001，接下来显示用不同的窗口进行快速傅立叶变换后的图形。 图2.10 首先看第一个最窄的窗口。我们期望的结果是变换结果应具有好的时间分别率和差的频率分辨率。 图2.11 上面的图显示了快速傅立叶变换结果。为了以一个更好的角度看图

小波变换网文精粹：小波变换教程(十一) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136201091273121315/ 十一、连续小波变换(一) 虽然时间和频率分辨率问题是由一个物理现象（海森堡测不准原理）造成的，还是可以用另外一种叫做多分辨率分析的方法来分析信号。如同它的名字一样，用不同的分辨率分析信号的不同频率分量。每个谱分量都不是由像STFT里那样用相同的方式解决。 多分辨率分析被用来在处理高频信号中获得一个好的时间分辨率和较差的频率分辨率，低频信号中获得较好的频率分别率和较高的时间分辨率。这个方法在处理高频信号持续时间较短，低频信号持续时间较长时才有用。幸运的是，实际应用中遇到的大多数信号都满足这一点。举例来说，下面这幅图就是这样的一种。在整个信号周期内，低频分量一直存在，高频信号只在中间很短的一段时间内出现了。 图 3.1 1、连续小波变换的定义 为了解决多分辨率的问题

小波变换网文精粹：小波变换教程(十二) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136201091273734591/ 十二、连续小波变换(二) 对上面公式的解释将在本节中进行详细说明。以x(t)作为被分析的信号。选用的小波作为信号处理中用到的所有窗函数的原型。应用的所有窗都是母小波的放大（或缩小）和平移版本。有很多函数可以满足这个条件。Morlet小波和墨西哥帽小波是其中最有代表性的，本章中后面部分中所举的例子也会用这两个小波进行小波分析。 一旦选择了母小波，就可以从s=1开始计算了，连续小波变换就是计算对应所有值的s，或者小于1，或者大于1。不过，与要分析的信号有关，一般不需要完整的变换。对所有的应用来说，信号是有带宽限制的，因此，在有限时间内做变换就经常能够满足要求了。在这篇文章里的后续部分，只用到s在有限时间内的值。 为方便起见，计算过程将会始于s=1，然后s值逐渐增大，即分析将会从高频开始，然后逐步到低频

小波变换网文精粹：小波变换教程(十三) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136201091274316370/ 十三、连续小波变换(三) 图3.4和3.5是s=4和s=5时的相同处理过程。注意到窗口宽度的改变是如何使频率分辨率降低的。随着窗口宽度的增大，变换将会夹杂一些低频分量。 结果，对每一个尺度和时间（间隔），都会得到时间——尺度平面内的一个点。同样比例时计算出来的结果作为时间——尺度平面的行，不同的比例计算出来的结果时间——尺度平面的列。 图 3.4 图 3.5 现在，看下面这个例子，看一下小波变换到底是什么样的。考虑图3.6中的非平稳信号。这个例子和在讲STFT时给出的例子很像，除了频率不同之外。如图所示，图中的信号是由四个频率分量组成的，分别为30Hz，20Hz，10Hz和5Hz。 图 3.6 图3.7是信号的连续小波变换。图中的轴分别是平移和缩放，不是时间和频率。不过，平移就对应着时间

小波变换网文精粹：小波变换教程(十四) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136201091274955253/ 十四、时间和频率分辨率 下面我们会更进一步的分析小波变换的分辨率特征。还记得，正是由于分辨率的问题，才使得我们快速傅立叶变换转到小波变换上。 图3.9经常被用来解释怎样诠释时间和频率分辨率。图3.9中的每个方块都反映了在时频平面内的小波变换结果。所有的方块都没有0区域，这说明在时频平面内，不能知道某个特定点对应的值。时频平面内每个方块中的点都代表了小波变换的一个结果。 图3.9 更深入的看一下图3.9，虽然方块的宽高改变了，但是其面积却是常数。即每一个方块都代表时频平面内相同的部分，只不过时间和频率不相同。注意到在最低频处，方块的高度比较短（意味着频率分辨率最高，更容易知道确切的频率），但是最高频处的方块高度最高（意味着频率分辨率最低，更不易知道确切的频率）。在高频处，方块的宽度减小

小波变换网文精粹：小波变换教程(十六) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136201091381249637/ 十六、小波变换的数学基础(二) 内积，正交和正交归一化 如果两个向量v和w的内积为0，则说它们是正交的： 式3.6 类似的，如果两个函数的内积也为0，则可以说两个函数是正交的： 式3.7 如果一个向量序列互相对偶正交，并且长度都为1，那么就说它们是正交归一化的。如下式： 式3.8 类似的，一个函数序列phi_k(t),k=1,2,3…如果满足下面的公式也可说是正交归一化的： 式3.9 且 式3.10 相当于 式3.11 其中delta_(kl)是克罗内克δ表示，定义如下： 式3.12 如上所说，基本函数（或向量）可能不只一系列。在他们中间，正交函数基（或向量基）极其重要，因为它们在查找这些分析系数时表现出良好的特征。利用正交归一化性质，正交归一化基使得人们可以用一个更简单和直接的方法计算这些系数。

小波变换网文精粹：小波变换教程(十七) 原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial 网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 十七、CWT应用举例 下面给出的所有例子均为现实生活中的非平稳信号。这些信号都来自包括正常人与阿尔茨海默氏症（Alzheimer）患者的事件相关电位（ERP）数据库。因为这些不是如简单正弦信号一样的测试信号，要解释它们并不容易，这里只是为了说明现实信号的连续小波变换（CWT）到底是怎样的。 图3.11所示为正常人的ERP信号： 图 3.11 图3.12为图图3.11所示信号的CWT结果。坐标轴上的数字可以不必太关心。这些数字仅是表明，计算CWT时，在平移-尺度平面上有350个平移单位和60个尺度单位。需要特别说明的是，这里的计算并不是真正的连续小波变换。因为显然，上述结果是在有限个点上计算出来的。它仅仅是CWT的一种离散形式，这点稍后会再解释。同时还要说明的是，这更不是离散小波变换(DWT)。DWT的内容会在更后面介绍。 图 3.12 图3.13与图3.12一样同样是图3.11所示信号的CWT，只是观看的角度与图3.12有所不同。 图 3.13 图3