微分方程

摘自百度百科 共轭复根是一对特殊根。指 多项式 或 代数方程 的一类成对出现的根。若非实复数α是实系数n次方程f(x)=0的根，则其共轭复数α*也是方程f(x)=0的根，且α与α*的重数相同，则称α与α*是该方程的一对共轭复（虚）根。 [1] 共轭复根经常出现于一元二次方程中，若用公式法解得根的判别式小于零，则该方程的根为一对共轭复根。 共轭复根 定义 方程两个互为共轭复数的根，称为方程的一对共轭复根。 [2] 通常出现在 一元二次方程 中。若根的判别式 ，方程有一对共轭复根。 根据一元二次方程求根公式 韦达定理 ： ，当 时，方程无实根，但在 复数 范围内有2个复根。复根的求法为 （其中 是虚数， ）。 由于共轭复数的定义是形如 的形式，称 与 为共轭复数。 另一种表达方法可用向量法表达： ， 。其中 ，tanΩ=b/a。 由于一元二次方程的两根满足上述形式，故一元二次方程在 时的两根为共轭复根。 根与系数关系： ， 。 共轭复根 应用 常系数齐次线性微分方程 如果 [3] P(x)，Q(x)都是x的函数。方程 的通解一般来讲是不容易求出的，当P(x)，Q(x)为常数时，微分方程 的求解方法如下： 该方程称为二阶常系数齐次线性方程。当r为常数时， 的各阶导数都只相差一个常数因子。设 ，将其代入方程(1)，得： 消去e rx ，得微分方程(1)的特征方程为： r是特征方程(2

signals and systems 序言 discrete time rabbits（斐波那契数列） leak tank（一阶微分方程） fall of a fog droplet（二阶微分方程） springs（二阶微分方程） 微分方程与模块化 输入和输出相同 序言 世间纷繁，人采映像。 对不可再分物质的不断追寻，是世人探究世界原码的终极体现。从有穷到无限，乃问题的两个分支，有穷是有限制的（restrictive)，具体问题的分解；无限是站在现今的边界，寻求新的突破。 系统是人创造性的抽象（abstraction），对于解决问题颇有增益，它的特点： 内部强联系 外部弱联系 强 弱 系统 内部 外部 由此，可对单个系统进行分析。而系统之间可以通过力、信息传递相互作用。即为信号与系统的核心问题。 系统举例：CPU、芯片、电机、服务器、喷气机（jumbo jet）、太阳系…… 思考： 热力系统（热力学第零定律所述，两个系统的平衡） 集合、矩阵等数学概念，一个封闭的体系 物理的力学分析，合外力为零，单独分析 电路的二端网络，输入和输出性质固定 学校等实体，按照一个既有的形式运作，大环境下处于稳态 discrete time 离散化表示是解决问题的一个方法。 重要性在于： 电脑是离散的系统 大多数概念同时适用于离散和连续 思考： 离散和连续的相互转化是处理问题的常见手段： 微积分中

相量法与稳态解 简介 一个例子 另一个例子 再来一个例子 结论 引用 简介 相信大家在学习《电路》这门课程的时候就遇到了神奇的相量法， 自1893年由德国人C.P.施泰因梅茨提出后，这种牛逼的方法就大 受欢迎。本来求解正弦稳态电路的稳态解的时候，需要根据电路 列写微分方程，然后对微分方程求解。但是使用相量法之后，电 感和电容原件竟然可以像电阻一样处理计算，可谓是大大简化了 求解过程。这些都是教科书告诉我们的内容，可是相量法却有使 用限制： 激励源必须是正弦信号（当然其他周期信号可以通过傅里叶分 解得到一系列不同频率正弦信号的组合） 只能用于线性电路，若电路含有非线性原件就不适用了。 那么，相量法对正弦稳态电路得到的解就是电路的解吗？在写这 篇博文的以前我一直深信不疑，知道遇到了下面的例子。 一个例子 U s = s i n ( t ) , L = 1 H , C = 1 F , R = 1 Ω U_s=sin(t), L=1H, C=1F, R=1\Omega U s ​ = s i n ( t ) , L = 1 H , C = 1 F , R = 1 Ω 求电容上的电压 U c U_c U c ​ 先不理具体参数，使用相量法： U s ˙ = 2 2 ∠ 0 ∘ \dot{U_s}=\frac{\sqrt{2}}{2}\angle0^{\circ} U s ​ ˙ ​ = 2

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式

ODE--常微分方程 ODE是 常微分方程 的英文缩写，即ordinary diffrential equation，如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，这就是ODE方程，例如形如F(x,y,y',y")=0的方程就是一个二阶ODE方程； PDE方程指偏微分方程，即：partial differential equation，指的是自变量的个数为两个或两个以上的微分方程，如y"(t)+y'(x)=0(这里的导数指的是y对t及x的偏导数)。 ‘等差’数列 linspace(start, end, difference) 向量（矩阵）的运算 加减乘除之前一定要有 点运算符号 啊！！！否则会报错的！ 分号的用法 命令行里面输入命令不立即执行，用分号 画图函数 plot（x,y,'style'） 画图 参数为自变量，因变量（不确定，后面说好像是xyz轴的变量），样式（） hold on 保持图像 legend(‘m1 desciption’,‘m2 desciption ’,...) 参数是单引号加 图例 文字，貌似要按照画图的顺序输入 不过这样的话如果我不想要某个画好的函数的图例怎么办呢？？？凉拌！ 用Matlab ODE45解ODE方程 [t,y] = ode45(@odefun,tspan,y0) t是自变量 y是算出来的因变量 ode45是计算模式 @后面是方程名称

目录 5.2 微分方程模型 5.2.1常见机电元件 5.2.2微分方程的建立 5.2.3 非线性数学模型的线性化 5.2 微分方程模型 5.2.1常见机电元件 能量分类 总方程 元件微分方程 储能元件 机械: 牛顿定律 质量块或 定轴转动物体 弹簧（弹性元件） 电气： 节点电流定律；回路电压定律 电容 电感 耗能元件 机械 阻尼器 电气 电阻 m-质量；x/x(t)-位移/变形量；f(t)-外作用力；θ-转角；M(t)-外力矩；J-转动惯量；k-弹簧刚度系数；fx(t)-弹簧力；U-电压；R-电阻；C-电容；i(t)-充电电流；L-电感；B-阻尼系数； 5.2.2微分方程的建立 列写微分方程一般步骤： 确定系统的输入量和输出量； 根据系统所遵循的基本定律，依次列出各元件的微分方程； 消中间变量，得到只含有输入、输出量的标准形式，标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列； 在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项应加以线性化。 eg.设有由电感L，电容C和电阻R组成的电路，如图所示。试求出以输出电压U2为输出变量和以输入电压U1为输入变量的微分方程。 （1）确定电路输入量/输出量 U1为输入量，U2为输出量 （2）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程 （3）消去中间变量i，得到U2与U1的关系方程 5.2.3 非线性数学模型的线性化 线性化： 将非线性微分方程

“ 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 ” 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。 理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

Ŀ¼ 已知某线性时不变系统的微分方程为 \(r^{''}(t)+5r^{'}(t)+6r(t)=3e^{'}(t)+2e(t)\) ,求该系统的冲激响应 \(h(t)\) . 解: 特征根为 \(-2\) 和 \(-3\) ,可得 \[ \hat{h}(t)=C_1e^{-2t}+C_2e^{-3t} \] 由于在使用齐次解法求冲激响应时,只有 \(\hat{h}^{(n-1)}(0_+)=\frac{1}{C_0}\) (其中 \(C_0\) 为微分方程中 \(r^n(t)\) 的系数),其余各阶导数均为 \(0\) ,所以有 \[ \begin{cases} \hat{h}(0_+)=0\notag\\ \hat{h}^{'}(0_+)=0\notag \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_1=1\notag\\ C_2=-1\notag \end{cases} \] 即 \[ \hat{h}(t)=(e^{-2t}-e^{-3t})u(t) \] 再根据微分方程右式的形式,有 \[ \begin{align}h(t)&=3\hat{h}^{'}(t)+2\hat{h}(t)\notag\\&=(7e^{-3t}-4e^{-2t})u(t)\notag\end{align} \] 值得注意的是,在求解过程中,要把 \(u(t)\)

看参考书到第五章，后面的是爱看不下去了，需要数学功底 解方程 二维三维图形 微分与积分 微分方程 数据处理（统计） maple编程 maple在计算和解方程方面具有巨大优势，适合于大学以上学历人员使用 适合于数学方面的人员使用，其他方面的人员把它当做一个工具即可 也可以算是一个编程语言吧（类似于matlab）。 如果你每天面对大量高等数学，矩阵，微分方程组等的求解，建议学习一些基础的函数，会计算即可。 网上的资料并不多，中文资料更少，不如matlab的大众化 学习要有恒心。 来源： https://www.cnblogs.com/yanbeiyinhanghang/p/11732914.html

请见"跟锦数学"今日头条. 跟锦数学210707 裴礼文第二版第855页例7.2.9(2) 跟锦数学210706 裴礼文例 7.4.4 曲面面积一个计算 (通过正交变换做) 跟锦数学210705 通过部分分式求不定积分 跟锦数学210704 Lagrange 中值定理的应用II 跟锦数学210703 Lagrange 中值定理的应用I 跟锦数学210702 Cauchy 中值定理的应用 跟锦数学210701 函数导数存在的一个充分条件 跟锦数学210630 某种直和的存在性 跟锦数学210629 一串无穷限积分的敛散性 跟锦数学210628 无穷小数列的一个性质 跟锦数学210627 一个函数的幂级数展开 (通过复变函数) 跟锦数学210626 一个极限的计算 (同时除以绝对值最大的) 跟锦数学210625 矩阵 A,B 的乘积是单位矩阵的结论 跟锦数学210624 x 的幂的极限 跟锦数学210623 利用等价性判定级数的敛散性 跟锦数学210622 Hadamard 不等式: 涉及凸函数 跟锦数学210621 非负递增数列的一个性质 跟锦数学210620 向量的乘积是否可对角化 跟锦数学210619 多项式的互素性: 自变量的幂, 函数的幂 跟锦数学210618 正定矩阵, 反对称矩阵的柔和 跟锦数学210617 二阶导数中值的存在性 跟锦数学210616