共轭复根

摘自百度百科

共轭复根是一对特殊根。指多项式或代数方程的一类成对出现的根。若非实复数α是实系数n次方程f(x)=0的根，则其共轭复数α*也是方程f(x)=0的根，且α与α*的重数相同，则称α与α*是该方程的一对共轭复（虚）根。 ^[1] 

共轭复根经常出现于一元二次方程中，若用公式法解得根的判别式小于零，则该方程的根为一对共轭复根。

共轭复根定义

方程两个互为共轭复数的根，称为方程的一对共轭复根。 ^[2]

通常出现在一元二次方程中。若根的判别式

，方程有一对共轭复根。

根据一元二次方程求根公式韦达定理：

，当

时，方程无实根，但在复数范围内有2个复根。复根的求法为

（其中

是虚数，

）。

由于共轭复数的定义是形如

的形式，称

与

为共轭复数。

另一种表达方法可用向量法表达：

，

。其中

，tanΩ=b/a。

由于一元二次方程的两根满足上述形式，故一元二次方程在

时的两根为共轭复根。

根与系数关系：

，

。

共轭复根应用

常系数齐次线性微分方程

如果 ^[3]  P(x)，Q(x)都是x的函数。方程

的通解一般来讲是不容易求出的，当P(x)，Q(x)为常数时，微分方程

的求解方法如下：

该方程称为二阶常系数齐次线性方程。当r为常数时，

的各阶导数都只相差一个常数因子。设

，将其代入方程(1)，得：

消去e^rx，得微分方程(1)的特征方程为：

r是特征方程(2)的解的充要条件是e^rx是微分方程(1)的解。

若方程(2)有一对共轭的复根

时，方程(1)的通解为：

 

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