signals and systems

序言

discrete time

rabbits（斐波那契数列）
leak tank（一阶微分方程）
fall of a fog droplet（二阶微分方程）
springs（二阶微分方程）

微分方程与模块化

输入和输出相同

序言

世间纷繁，人采映像。
对不可再分物质的不断追寻，是世人探究世界原码的终极体现。从有穷到无限，乃问题的两个分支，有穷是有限制的（restrictive)，具体问题的分解；无限是站在现今的边界，寻求新的突破。
系统是人创造性的抽象（abstraction），对于解决问题颇有增益，它的特点：

内部强联系
外部弱联系

由此，可对单个系统进行分析。而系统之间可以通过力、信息传递相互作用。即为信号与系统的核心问题。

系统举例：CPU、芯片、电机、服务器、喷气机（jumbo jet）、太阳系……
思考：
热力系统（热力学第零定律所述，两个系统的平衡）
集合、矩阵等数学概念，一个封闭的体系
物理的力学分析，合外力为零，单独分析
电路的二端网络，输入和输出性质固定
学校等实体，按照一个既有的形式运作，大环境下处于稳态

discrete time

离散化表示是解决问题的一个方法。
重要性在于：

电脑是离散的系统
大多数概念同时适用于离散和连续

思考：
离散和连续的相互转化是处理问题的常见手段：
微积分中，积分是由一个个离散的值的累积概念引出，逐步逼近到无穷，即为连续；微分将连续，离散化处理后便是某个点的趋势，这个趋势在离散的区域可显示出。
视频流，无法复现完整的活动。将高频的帧数连贯，人眼可见便是连续的动画效果。同理，每一帧的影像，虽可看作是一个瞬间的记录，但记录的过程是空间的光线连续投射。

rabbits（斐波那契数列）

斐波那契问题，是一个离散的问题。
熟悉的数列，看到文中提到数列的对数化是线性的图像，刚看到有些不理解，用python编程可视化实现验证：

a1=1
a2=1
for i in range(0,limit):
    x.append(i)
    an=a1+a2
    a2=a1
    a1=an
    y.append(an)
    lny.append(math.log(an))
    logy.append(math.log(an,10))

斐波那契数列

对数化

思考：
人口增长模型，logistics模型初始阶段即为指数增长。

固数列可拟合为：
$f(n)\approx AZ^{n}$
求Z将数列后一项与前一项做比：
黄金分割
这个网站提供逆向推导数字来源

在python中验证拟合公式：
$f(n)\approx \frac {\phi ^{n+1}} { \sqrt 5 }$
$r(n)= f(n)-\frac {\phi ^{n+1}} { \sqrt 5 }$
结果首先是这样的，差项到最后反而增大？

在这里插入图片描述
打印末尾几项进行观察，比较大的数字，怀疑数字过大溢出，数列项数减小到50
：
$r(n)= - \frac {(-\phi) ^{-(n+1)}} { \sqrt 5 }$

可得：
$f(n)= \frac 1{ \sqrt 5}\big(\phi ^{n+1}-(-\phi) ^{-(n+1)}\big)$

最后的思考问题：

经过验证，的确如此
problem
我认为，联想到刚才的溢出问题，是否因为计算机计算指数精度有限？

leak tank（一阶微分方程）

$\frac {dh}{dt}=-\frac h \tau$
经典的一阶微分方程，方程的形式很熟悉，但同样可以进行离散化处理——将单个周期的衰减以初始速率计算。拟合效果确实很好。

h0=10
c=10           #time constant
limit=100
hc=[]          #continuous
hd=[]          #decrete
T=[]           #timestep
for t in range(0,limit):
    T.append(t)
    hc.append(h0*math.exp(-t/c))
    hd.append(h0*math.pow(1-1/c,t))

思考：
可以想到，图中的两条曲线其实都是离散化的显示，只是将离散区间逼近零。

后面，看到更有力的解释：
$e^{-T/\tau}= 1-\frac {T} {\tau}+\frac {(\frac {-T} \tau)^2} {2! } +\cdots+\frac {(\frac {-T} \tau)^n} {n! } +\cdots$

时间常数
周期数

fall of a fog droplet（二阶微分方程）

新技能get
欧拉近似法解常微分方程
$\frac {d^2x}{dt^2}=g-\frac 1 \tau \frac {dx}{dt}$

在这里插入图片描述

经测试，无法完成仿真，数字溢出。记录接近极限值。
这个专题同时增强了我对自然现象的理解：

雾相当于云落到地面，我们看到的雾，正是天上的云运动至此，它们历经夜晚降落人间。
与自然相伴，真理在眼前

用欧拉估计法与用拉普拉斯变换求解微分方程后绘制曲线基本重合。
$\tag{微分方程的解}x(t)=\tau^2ge^{-\frac t \tau}+\tau g t-\tau^2g$

周期T关系
时间常数

很奇怪，和预想不符。
看到比例系数是 $\frac T \tau$ ,认为一个成正比，另一个成反比。但结果是都成正比。检查后应该无误。

springs（二阶微分方程）

$\frac {d^2x}{dt^2}+w^2x=0$

仍然根据欧拉估计法得到离散公式：

$\frac{ x[n+2]-2x[n+1]+x[n]} {T^2} +w^2x[n]=0$

调整参数后，得到发散图像
explode
思考：
这个结果不难理解：稳态是一种条件较高的状态，因此不对称（symmetric) 的公式在无穷的情况下一定结果不是稳态。
下面验证极大值随时间增长而增大，虽然在明显的图中可以直观看到。
在这里插入图片描述
但在将 $w$ 和 $T$ 都缩小后，图像的发散趋势并不明显：

然而此时的极大值随时间的变化趋势仍呈线性，故不稳定而发散是必然的结果。

另一种情况是归零：在这里插入图片描述

最后采用对称的公式：
$\frac{ x[n+1]-2x[n]+x[n-1]} {T^2} +w^2x[n]=0$

调整参数之前，虽然图形是对称的，但图像都较奇怪，想到可能是取的参数每次都是周期上固定的位置，固图像并非连续。
在这里插入图片描述

调整之后：
连续图像
验证之后趋于稳态：

看到之后的思考题，我愣了一下，初态规定 $x[0]$ 与 $x[1]$ 的值，之后的稳态却超过了这个值，忽略它确实能主观接受，但思考这个问题还是比较有益：
首先，物体在这段时间内移动的距离使其具有一定的加速度，因此能够继续移动。
不过初始态同时为1却得到超出的结果还是让人有些费解：凭空很难想象结果为此。
至此，对常接触的微分方程理解更加深入。