同余定理

同余：数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够整除m，即（a-b）/m得到一个整数， 那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。 数学上同余，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余。 两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m 记作 a≡b (mod m) 读作 a同余于b模m，或读作a与b对模m同余。 例如 26≡2 (mod 12) 【定义】设m是大于1的正整数，a、b是整数,如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余. 显然,有如下事实 (1)若a≡0(mod m),则m|a; (2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。 【证明】 充分性: m|(a-b)——> a≡b(mod m) 设a=mq1+r1,b=mq2+r2 且0≤r1,r2<m ∵ m|(a-b) 又a-b=m(q1-q2)+(r1-r2). ∴必有常数n使得(r1-r2)=mn 则有m|(r1-r2). ∵0≤r1,r2<m, ∴0≤|r1-r2|<m ∴r1-r2=0 即r1=r2. 故a≡b(mod m). 必要性:a≡b(mod m)——>m|(a-b) 设a,b用m去除余数为r, 即a=mq1+r,b

同余基本概念 剩余系 欧拉函数 欧拉函数 φ(n) 表示1~n中所有与n互质的数。比如1~8中与8互质的数有1,3,5,7，所以φ(8)=4。 公式1 ：如果p是素数，有φ(p)=p-1。 公式2（积性） ：如果(a,b)=1，有φ(a*b)=φ(a)*φ(b)， --->以下是公式二的证明过程 设模a的一个简系为a1,a2,a3,…,aφ(a)，模b的一个简系为b1,b2,b3,…,bφ(b) 现在我们要证明：所有ai∗b+bj∗a（共φ(a)*φ(b)个）组成了模a*b的一个简系（即φ(a*b)=φ(a)*φ(b)）。 判定简系需要证明下面三点： (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。 ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t) 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)（即没有遗漏） 证明1： (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。 因为(a,ai)=1,(a,b)=1，所以(a,ai*b)=1，由辗转相除法可得(a,ai*b+bj*a)=(a,ai*b)=1，同理得(b,ai*b+bj*a)=1。 所以1得证。 证明2： ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t) 证明3： 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b) 所以φ

crt： 问题： 求解形如： 的方程组 构造思想求解： 构造解 X = x1 + x2 + x3 +......+xn 其中 xi 的构造为 bi * (逆元项）*（消参项） 消参项： 使得 除了xi的其他项xj mod ai == 0 逆元项： 为消参项在mod ai 意义下的逆元 ，使得 bi * (逆元项）*（消参项）mod ai = bi mod ai 则： $$X\equiv b_{i}\ (mod\ a_{i} ) \ , 1\leq i\leq n $$ ,即满足要求. 不难想到消参项的构造 : $$M_{i} = \prod_{1}^{n}b / b_{i}$$ 又 ，对于通解X，任何 $ X + n*\prod_{1}^{n}b $ 都是可行解， 所以 ，令 $ t = \prod_{1}^{n}b / b_{i} $ , 则最小正整数解为 $(X\; mod \;t + t ) \;mod\; t$ 伪代码： 1 → n 0 → ans for i = 1 to k n * n[i] → n for i = 1 to k n / n[i] → m inv(m, n[i]) → b // b * m mod n[i] = 1 (ans + m * b) mod n → ans return (ans mod t + t ) mod t excrt：

6．一种概率算法 　　缪内的结果虽然很好，但它毕竟是依赖于一个悬而未决的假设．因而在实用中，它是不能被采用的．故我们回到勒默的结果，看看从这个结果还能引伸出什么方法来． 　　勒默的结果说，若n是合数，则存在a，满足(a，n)=1使样的a至少有多少． 　　 　n是合数时，由勒默的结果定理2.12，Mn是Un的真子群，即Mn≠Un，因而Mn在Un中的指标至少是2，即(Un∶Mn)≥2．故Mn中的元素个数至多是Un中元素个数的一半，即Un中不在Mn中的元素个数至少 　　　 (modn)． 　　证明 对1到n之间的数a，若(a，n)≠1，则显然a不满足　 　 　　这个推论可以产生一种作“素性判别”的概率算法： 　　对任何输入n，从1到n之间随机地抽取k个数a1，a2，…，ak 是否成立，若有某个ai使此同余式不成立，则断言n是合数；若对a1，…，ak，同余式都成立，则断言n是素数． 　　在这个算法中，ai的选取是随机的，而且结论(断言)正确性不是完全确定的，故此算法叫概率算法．在这个概率算法中，当得到断言说输入n是合数时，由定理2.11，结论是正确的；当得到断言说输入是素数时，没有什么定理可以确保结论是正确的．也就是说，此算法在执行完毕后，可能将一个事实上是合数的输入断言为是素数了．但是，由以上定理2.15的推论，这种出错的概率是很小的．因为，若n事实上是合 　 　 乎为零(但不是零！)

同余定理 若 ax与b模m的余数相同（其中x为未知数，即所需要求的数），即 ax%m=b%m ，则这个式子可以记作成 a≡b (mod m) 。 设ax对m取模后的余数为r1，则有： ax=y1 m+r1。 ① 同理，设b对m取模后的余数为r2，则有： b=y2 m+r2。 ② 其中y1与y2均为任意整数，此时两则互不相干。 那么我们知道，由于ax%m=b%m，则 r1=r2 ，联立①②得：ax-y1 m=b-y2 m，移项最后得出方程： ax+my=b 这个方程叫 线性同余方程 ，由于未知数x为一阶的，所以也称为 一次同余方程。 这个方程的形式也使它叫作 不定方程。 这个方程的一个性质是：若至少有一组解（x0，y0）能使得这个方程成立，则当且仅当gcd（a，m）|b， 即a与m的最大公约数能被b整除。 （裴蜀定理） 如果我们直接求解的话，当然是不行的了~那么接下来会由扩展欧几里得算法来求出这个方程的通解。 在接下来之前，我们有牢记一个东西，方程ax+my=b，它是关于（x，y）的一个二元一次方程，切记它的 右半边式子是已知的数b。 （一般题目推出来，a、b、m都是已知的。求x，y） 设g=gcd（a，m）， 而扩展欧几里得算法只是求方程：ax+my=g的一组特解。 扩展欧几里得算法 对于方程： ax+my=g ，用ex_gcd（扩欧）求出一组解（x0，y0）满足这个方程。