同余问题(超详细!!!)

孤街醉人 提交于 2019-11-28 08:47:28

同余基本概念


 

剩余系


 

欧拉函数

欧拉函数φ(n)表示1~n中所有与n互质的数。比如1~8中与8互质的数有1,3,5,7,所以φ(8)=4。

公式1:如果p是素数,有φ(p)=p-1。 

公式2(积性):如果(a,b)=1,有φ(a*b)=φ(a)*φ(b),

--->以下是公式二的证明过程

设模a的一个简系为a1,a2,a3,…,aφ(a),模b的一个简系为b1,b2,b3,…,bφ(b) 现在我们要证明:所有ai∗b+bj∗a(共φ(a)*φ(b)个)组成了模a*b的一个简系(即φ(a*b)=φ(a)*φ(b))。 判定简系需要证明下面三点:

  1. (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。

  2. ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)

  3. 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)(即没有遗漏)

证明1:  (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。

因为(a,ai)=1,(a,b)=1,所以(a,ai*b)=1,由辗转相除法可得(a,ai*b+bj*a)=(a,ai*b)=1,同理得(b,ai*b+bj*a)=1。 所以1得证。

证明2:  ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)

证明3: 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)

所以φ(n)是积性函数(但不是完全积性,因为要满足(a,b)=1)。 有了这个公式,就可以推得欧拉函数的通项公式。

又因任意两个p互质(没有共同质因子),

所以:

公式4:欧拉函数的通项公式


 

求欧拉函数值

1.如果只求φ(n),唯一分解 那么我们就直接将n唯一分解处理出每一个n的素数,然后用通项公式就行了。 效率:O(√n) 

2、如果要求φ(1~n) 用唯一分解就比较慢了,所以我们可以用筛法求出φ(1~n),原理和筛素数是一样的。普通筛法用到的是通项公式,而线性筛法用到公式1、公式2(积性)和公式3。

普通筛法代码:

线性筛法代码:

这里附几道求欧拉函数值的习题:

洛谷 P2303 [SDOi2012]Longge的问题

洛谷 P2568 GCD


 

模运算

【同余的几个性质】

性质1:a≡a(mod m),(自反性)

性质2:若a≡b(mod m),那么b≡a(mod m)(对称性)

性质3:若a≡b(mod m),b≡c(mod m)=>a≡c(mod m)(传递性)

性质4:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡b±d(mod m)(可加减性)

证明:设a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m则(a±c)%m=(A±C),(b±d)%m=(A±C)即a±c≡b±d(mod m)

性质5:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡bd(mod m)(可乘性)

证明:设a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m则ac=( A+Ka*m)( C+Kc*m),bd=( A+Kb*m)( C+Kd*m)所以ac%m=AC bd%m=AC即ac≡bd(mod m)

性质6:若a≡b(mod m),那么an≡bn(mod m)(其中n为自然数)

证明:由性质1和性质5得。

性质7:若ac≡bc(mod m),(c,m)=1,那么a≡b(mod m)

证明:ac≡bc(mod m)=>c(a-b)≡0(mod m)=>c%m*(a-b)%m=0 =>m|c或m|(a-b)又因为(m,c)=1.所以m|(a-b)即a≡b(mod m)

性质8:若a≡b(mod m),那么a^t≡b^t(mod m)

证明:由性质5得。

性质9:若 a≡b(mod m1) a≡b(mod m2)…. a≡b(mod mk) 则 a≡b(mod [m1,m2……mk])

证明:由题意得mi|(a-b) (1<=i<=k)即(a-b)是mi的公倍数,所以[m1,m2……mk]|(a-b)即a≡b(mod [m1,m2……mk])


 

欧拉定理

若正整数a、n互素,有:

消去律:如果 gcd(c,p) = 1 ,则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。


 

费马小定理 

若正整数 a 与素数 p 互质,则有 a^(p-1) ≡ 1 mod p。

证明这个定理非常简单,由于 φ(p) = p -1,代入欧拉定理即可证明。


 

欧拉定理的推论

 


 

扩展欧几里得算法

欧几里得定理,即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

定理1:如果a、b是不全为0的整数,那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。

对于线性同余方程

可以改写成ax+ny=b的形式

如何求解 (以下讨论a>b):

当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;(特解)

当a>b>0 时 设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2 = ay2+ bx2- [a / b] * by2;

(a mod b = a - [a / b]*b;[a / b]为a整除b) 也就是ax1+ by1 = ay2 + b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得:x1=y2;y1=x2- [a / b] *y2;

这样就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2 :

引理

ax+by = z,z为gcd(a,b)若干倍,求方程的解;

先求解ax+by = gcd(a,b),再将求出的解乘以 z/gcd(a,b)就好了。

 

求得了方程ax+by=gcd的一组特解为x0,y0;

通解

  • 如果a,b互质通解为x=x0+b*t, y=y0-a*t;

  • 如果a,b不互质通解为x=x0+b/gcd*t, y=y0-a/gcd*t;

最小正整数解:X=(x0%(b/gcd)+b/gcd)%(/gcd);


 

板子题来喽——

[NOIP2012]同余方程(信息学奥赛一本通 1872)

【题目描述】

求关于 x 的同余方程 ax≡1(modb)  的最小正整数解。

【输入】

输入只有一行,包含两个正整数 a,b,用一个空格隔开。

【输出】

输出只有一行,包含一个正整数 x0 ,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

【输入样例】

3 10

【输出样例】

7

 

 


 

模意义下乘法的逆元

求逆元

一、使用欧拉定理求逆元(a,m互质)

二、使用扩展欧几里得求逆元(a,m互质)

同余方程ax≡1(mod m)的最小正整数解即为a的逆元

 

线性求逆元:递推法

求1~M模M的所有逆元,M为质数。用快速幂一个个求复杂度O(MlogM) 对于1000000以上级别的素数,有更优秀的求逆元算法,递推式如下:

 

推导过程:设t=M/i , k=M%i

 

对上式两边同时除i*k ,进一步得到

再把t,k替换回来,得到

初始化 inv[1]=1 ,这样就可以通过递推法求出1~M模素数 M的所有逆元了。


 

练练手——

Sumdiv(信息学奥赛一本通 1633)

【题目描述】

求 AB 的所有约数之和 mod9901。

【输入】

输入两个整数 A,B。

【输出】

输出答案 mod9901。

【输入样例】

2 3

【输出样例】

15

 

 

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