数学

数学复习笔记 不断更新中 1.向量 在3D数学中 向量的基本运算有 归一化 ，加法与减法 ，点乘 与叉乘 。 点乘公式如下 所指为 a向量与b向量的夹角 ， = 反余弦(ab点乘 / a与b的模相乘) 叉乘公式如下 具体用法在这里 ttp://www.cnblogs.com/Keyle/p/4506699.html 2.矩阵 一般来说矩阵式这样的 矩阵的加法，减法也是一样 性质 矩阵的乘法 向量乘以一个3*3的矩阵 例题 重点看例3 在矩阵中AB!=BA 矩阵的线性变换 (1)利用矩阵做向量的旋转 旋转公式如下 (2)利用矩阵缩放 基本概念 矩阵缩放公式 (3)投影矩阵 首先分为两种透视投影与正交投影，正交投影其实是一个降维的过程(三维变二维) 公式如下 通用投影矩阵 (4)镜像矩阵 任意镜像矩阵公式，我们用n来指定一个平面 (5)矩阵的切变 2D切变公式如下 3D切变如下 (6)矩阵的行列式 公式如下 注意只有方阵才有行列式计算，他的计算结果是一个标量，对角交叉相乘最后相加 3D矩阵计算公式如下 (7)矩阵的逆 性质 计算公式 其中adjM为标准伴随矩阵 其中的 C{11} 叫做代数余子式矩阵 计算方式为 ===> 一个完整的计算方式如下 代数余子矩阵计算比较复杂 实际运用 V是一个向量 我们通过M旋转矩阵进行了旋转，现在要回到原来的位置，那么我们再乘以M矩阵的逆，也就是等于v

数学函数库 进一、舍一取整，四舍五入 /* * floor函数 * float floor(float $value) * 描述：将实现舍一取整 * * ceil函数 * float ceil(float $value) * 描述：将实现进一取整 * * round函数 * float round(float $value[, int $precision=0]) * 描述：实现四舍五入的功能，$precision表示保留几位小数 * */ $a = 9.75; $b = 5.3; echo floor($a), "\n"; //9 echo ceil($a), "\n"; //10 echo round($a,1), "\n"; //9.8 echo round($a), "\n"; //10 echo round($b), "\n"; //5 幂运算和平方根 /* * pow函数 * number pow(number $base, number $exp) * 描述：幂指数运算 * * sqrt函数 * float sqrt(float $arg) * 描述：平方根 * */ $num = 3; echo pow(3, 2), "\n"; echo sqrt($num), "\n"; 最大值和最小值 /* * max函数 * mixed max(mixed $value,

A. B $[n=1]=\sum \limits_{d|n} \mu(d)$ 于是考虑用莫比乌斯函数容斥出题意中的$[gcd=1]$。 设$f_n$表示$gcd$为$n$的倍数的答案。 $g_n$表示$gcd$为$n$的答案。 $g_1=\sum \limits_{i=1}^n\mu(i)f_i$ 考虑如何求出$f_i$，即整个序列均选择$i$的倍数。 $n$以内$i$的倍数总共有$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$个。 为了保证单调递增，考虑插板法，即在长度为$k$的序列中插入$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor-1$个板，来实现分块递增的效果。 然后发现式子化到这里答案只与$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$有关了，所以直接整除分块套个度教筛就好了。 然后发现$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$可能达到很大的级别，并不能预处理阶乘。 但是明眼人都能看出来，只要将阶乘预处理$n^{\frac{2}{3}}$，对于大的部分暴力就好了。 因为题中保证$k$并不大，可以算出来这个总复杂度是不超过$n^{\frac{2}{3}}$的。 B. B君的回忆 要求$g(g(g(g(g(...g(n)...)))))$。 考虑最简单的情况$g(n)$，直接矩阵快速幂就好了。 对于$g(g(n))$

A. 解方程 考虑没有任何限制的东西， m个元素分为n个连续的区间，直接用组合数插板法就好了。 考虑如何去掉元素大于$a_i$的限制， 只要给最终的元素个数减掉$a_i$就好了。 考虑如何搞元素个数小于$a_i$的限制， 不妨使用子集反演，要求的是恰好$0$个元素大于$a_i$。 只要钦定其中的每个集合元素大于$a_i$，问题就转化为了容易解决的问题，乘上容斥系数就好了。 因为模数满足$p^k$并不大，使用$exlucas$（实际上就是不断提取$p$这个质因子）就好了。 B. 宇宙序列 因为异或的性质$a\ xor\ b\ xor\ b=a$，题中给出的式子可以转化为异或卷积式。 因为异或卷积具有结合律，可以直接倍增求，使用FWT优化，可以做到$O(pn2^n)$。 通过DFT，可以将异或的卷积式转化为对位相乘。 暴力相加并不容易优化，但是可以发现对位相乘的结果的形式是优美的。 根据异或FWT的DFT性质（可以结合或卷积的子集和理解），可以发现不断在系数/点值两种情况下转换是没有意义的。 只要在点值意义下不断的自乘，累加在另一个数组中就可以了。 设$a$数组DFT之后为$A$数组，那么对于$A_i$，对应的累加结果为$B_i=\sum \limits_{j=0}^{p}A_i^{2^j}$。 问题在于求出$B$，一次性IDFT回去就好了。 利用本题中模数并不大（$10007$

作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 文章来源： https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了 . 目录 一、什么是频域 二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱 三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱 四、傅里叶变换（Fourier Transformation） 五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式 六、指数形式的傅里叶变换 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析 。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以

N=eval(input()) t=0 if N<0: n1=-N+10 n2=-N-10 n3=-N*10 t=-1 else: n1=N+10 n2=N-10 n3=N*10 t=1 if n1<0: n1=-n1 if n2<0: n2=-n2 if n3<0: n3=-n3 print(t*N,n1*t,n2*t,n3*t) 来源： https://www.cnblogs.com/2640335699qqcom/p/12561351.html

　　关于Python这门语言，是大家公认简单易学、容易上手的编程语言，现在学习Python技术的人变得越来越多了，但是对于学习Python开发需要怎样的条件了解的人并不是很多，学习Python，英文和数学基础真的很重要吗?学习Python需要什么基础? 　　首先为大家介绍一下Python，Python是自由的软件，源代码和解释器cPython都遵循GPL协议，Python语法简单清晰，有一个非常独特的优势就是强制用空白符作为语句缩进。 　　Python具备丰富和强大的库，被大家称为胶水语言，能够把用其他语言制作的各种模块轻松的链接在一起，使用Python快速生成程序的原型，用更合适的语言改写，比如说3D游中的图形渲染模块，性能要求特别高，可以用C进行撰写，然后利用Python调用扩展类库。 　　那么Python学习数学英文基础重要吗?其实对于关注这个问题的朋友们来说，完全是不用太多担心的，当我们参加Python培训班的时候，首先都是从基础开始学习的，关于Python基础教程数学英语方面是没有太高要求的，基本初入门就可以了。在以后的实践中即便基础不是很好，我们也可以慢慢积累知识点，掌握更多的知识，循序渐进的过程，可以让你更好的掌握好Python。 　　学习Python需要具备什么基础?对于这个问题大家也不需要太多的担心，其实即便是没有任何基础的情况下也是可以学习的

3 月，跳不动了？>>> 全球有50%人的智商得分在90至110之间，有2.5%的人有智力缺陷（IQ得在70以下），有0.5%的人是接近天才或天才（IQ得分超过140），有 2.5%的人在智力上非常优秀（IQ得分在130以上）。 不过，如果将IQ得分作为判断一个人智力的合适的量的标准，这个衡量标准是很主观的并且一直成为辩论的主题，因为有的人认为成就更加能够判断人的智力水平。 上周六，根据IQ得分有国外媒体评出了当今在世智商最高10大天才。其中今年37岁的华裔澳洲人陶哲轩以智商得分最高而位列榜单第一位置。 下面是按照IQ得分从高到低的排名名单： 1.陶哲轩（Terence Tao） 陶哲轩，今年37岁，华裔澳洲人，其IQ得分为230。 陶哲轩父母均毕业于香港大学，1972年他的父母移民至澳大利亚，1975年他出生于澳大利亚，是家中的长子。陶哲轩两岁就研究数学，8岁升入中学，曾参加美国SAT（美国高考）数学部分测试得了760分的高分（满分为800分），9岁修完大学数学，十三岁成为最年轻的国际数学奥林匹克金牌获得者，1996 年获得普林斯顿大学博士学位后任教于加利福尼亚大学洛杉矶分校（UCLA），24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校全职正教授。2006年获得数学界最高荣誉“菲尔兹”奖。 2.克里斯托弗•希拉塔（Christopher Hirata） 克里斯托弗•希拉塔，今年30岁，美国人

一般思维这个题可能会想到bfs，但是看了题解发现数学法是很不错的选择，这题要是用bfs其实也有点勉强，我目前的理解是算法是解决简化问题的而不是制造问题的，如果可以用很强的数学公式解决也是有限考虑的。 而贝祖定理告诉我们，ax+by=zax+by=z 有解当且仅当 zz 是 x, yx,y 的最大公约数的倍数。因此我们只需要找到 x, yx,y 的最大公约数并判断 zz 是否是它的倍数即可。 之前好像有个新闻还报道过这个小女孩。 牵扯到数学，还是py好用，go直接拉跨。 class Solution: def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool: if x + y < z: return False if x == 0 or y == 0: return z == 0 or x + y == z return z % math.gcd(x, y) == 0 end 来源： https://www.cnblogs.com/CherryTab/p/12543522.html

数学工具常见问题集FAQ (Frequently Asked Questions) 文档名称: 数学工具常见问题集 修订时间：2002年6月23日星期日 语 言：简体中文 版本编号: $Id: MathTools.FAQ.CN 1.0beta 2002/6/23 15:59:16 QianqianFang$ 更新周期：每月更新 本文档由FangQ(Qianqian.Fang@Dartmouth.Edu)维护 最新版本发表在BigGreen BBS数学工具版 匿名访问地址为：http://bbs.dartmouth.edu/cgi-bin/bbsdoc?board=MathTools 注册用户Telnet登录地址：telnet bbs.dartmouth.edu 注册用户Telnet登录地址：http://bbs.dartmouth.edu/bbs/ 及水木清华站MathTools版 访问地址为：http http://www.smth.edu.cn/ 注册用户Telnet登录地址：telnet bbs.smth.org 最后更新: 2002/6/23 15:59:16 其他参与修订本文档的人员名单： popo1999(email), hyphone(email), energy(email), mikie(email) 声明： 本文档的原则是：欢迎转载到其他BBS或者学术讨论网站