牛顿迭代法

100个不同类型的python语言趣味编程题 在求解的过程中培养编程兴趣,拓展编程思维,提高编程能力。 第一部分：趣味算法入门；第六题 ''' 6.牛顿迭代法求方程的根：方程为：ax**3 + bx**2 + cx + d = 0,系数a,b,c,d由主函数输入。 求x在1附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。 牛顿迭代法的公式是：x = x0 - f(x0)/f'(x0) 设迭代到|x-x0|<=10**-5时结束。 ''' #解题方法示例如下; #输入方程的系数 a = int(input('请输入a的值：')) b = int(input('请输入b的值：')) c = int(input('请输入c的值：')) d = int(input('请输入d的值：')) #用牛顿迭代法求方程的根 x = 1.5 i =1 #随机定义一个i的值，是其能够进入while循环语句 while i >= 1e-5: #（1e-5 = 10**-5） x0 = x #用所得的x代替x0原来的值 f = ((a*x0+b)*x0+c)*x0 +d #f用来描述方程的值 fd = (3*a*x0 + 2*b)*x0 +c #fd用来描述方程求导之后的值 x = x0 - f/fd #求得更接近方程根的x的值 i = abs(x - x0) #输出所求方程的根 print('方程的一个根为：{

牛顿迭代法 一、何为牛顿迭代法 牛顿迭代法又称为牛顿-拉弗森方法，是牛顿在17世纪提出的一种在实数和复数域上近似求解方程的方法。 牛顿迭代法的操作简单来说就是通过不断取切线，然后通过切线再不断逼近相应的解，废话不多说，我们来看图。 例如如下曲线 \(y=x^2-1\) 我们在其上面任取一点，不妨取(2，3)，以该点做切线，切线方程为 \(y=4x-5\) ，在图中将该切线加上可如下图： 来源： https://www.cnblogs.com/southernEast/p/12422623.html

public static double sqrt(double c) { if(c<0) return -1; double err = 1e-15; double t = c; while(Math.abs(t-c/t)>err*t) t=(t+c/t)/2.0; return t } 原理解释： 先假设t为c的平方根，x1=t，再利用公式x(n)=(x(n-1)+c/x(n-1))/2，然后不断迭代求x(n)的值，直到x(n+1)-x(n)的差值小于err为止。 比如求6的平方根，此时t=c=6，x1=6，运用公式迭代求得x2=3.5，x3=4.35，x4=2.86，...x(n)=2.45 来源： CSDN 作者： qq_36669347 链接： https://blog.csdn.net/qq_36669347/article/details/104214076

实现 int sqrt(int x) 函数。 计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。 由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。 示例 1: 输入: 4 输出: 2 示例 2: 输入: 8 输出: 2 说明: 8 的平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。 来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 牛顿迭代法： Γ ( x 2 ) = 0 \Gamma(x^2)=0 Γ ( x 2 ) = 0 f ( x ) = x 2 − n f(x)=x^2-n f ( x ) = x 2 − n 求斜率： 2 x 2x 2 x x − ( x 2 − n ) / 2 x = x / 2 + n / 2 x x-(x^2-n)/2x=x/2+n/2x x − ( x 2 − n ) / 2 x = x / 2 + n / 2 x x n + 1 = x n / 2 + n / 2 x n x_{n+1}=x_{n}/2+n/2x_n x n + 1 ​ = x n ​ / 2 + n / 2 x n ​ 最后进行迭代； 递归解决： class Solution { public : int

1. 问题引入——很多现实问题的解决归结于求解方程（方程的根又称函数的零点） 2. 五次及五次以上的代数方程不存在一般形式的根式解 3. 求方程的根分为两种情形：求精确根及近似根；近似根的求解方法——区间收缩法（确定初始含根区间；收缩含根区间） 4. 简单迭代法的基本思想（将方程f(x)=0变换为等价形式x=φ(x)，构造迭代格式）；迭代函数；不动点方程；迭代序列 5. 简单迭代法求解方程示例 6. 牛顿迭代法的基本思想及迭代公式（原理：将非线性方程线性化）；牛顿迭代公式 7. 牛顿迭代法的几何意义（切线法求方程的解） 8. 牛顿迭代法求解方程示例 9. 牛顿迭代法的收敛性（隔根区间） 10. 牛顿迭代法收敛性定理 11. 牛顿迭代法的误差估计 12. 牛顿迭代法求解方程示例（有误差要求） 13. 牛顿迭代法的优缺点（收敛速度比较快，但是对初始值要求高，并且需要计算导数） 来源： CSDN 作者： 预见未来to50 链接： https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/103768625

Python实现牛顿迭代法 牛顿迭代法原理及实现 （一）牛顿迭代法（方程，简单） （二）牛顿迭代法（由迭代次数） （三）牛顿迭代法（由迭代精度） （四）牛顿迭代法（由迭代次数和迭代精度） （五）全局牛顿法 牛顿迭代法原理及实现 牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f’(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f’(x0),称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f’(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f’(Xn),称为r的n

前言 这里讨论的优化问题指的是，给定目标函数f(x)，我们须要找到一组參数x。使得f(x)的值最小。 本文下面内容如果读者已经了解机器学习基本知识，和梯度下降的原理。 SGD SGD指stochastic gradient descent，即随机梯度下降。是梯度下降的batch版本号。 对于训练数据集，我们首先将其分成n个batch，每一个batch包括m个样本。我们每次更新都利用一个batch的数据。而非整个训练集。 即： x t + 1 = x t + Δ x t Δ x t = − η g t 当中。 η 为学习率， g t 为x在t时刻的梯度。 这么做的优点在于： 当训练数据太多时。利用整个数据集更新往往时间上不显示。batch的方法能够降低机器的压力，而且能够更快地收敛。 当训练集有非常多冗余时（相似的样本出现多次），batch方法收敛更快。以一个极端情况为例。若训练集前一半和后一半梯度同样。那么如果前一半作为一个batch，后一半作为还有一个batch。那么在一次遍历训练集时，batch的方法向最优解前进两个step，而总体的方法仅仅前进一个step。 Momentum SGD方法的一个缺点是，其更新方向全然依赖于当前的batch。因而其更新十分不稳定。 解决这一问题的一个简单的做法便是引入momentum。 momentum即动量，它模拟的是物体运动时的惯性

目前接触到的牛顿迭代法主要应用于两个方面:(1)方程求根问题(2)最优化问题。 1、求解方程。 并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，导致求解困难。利用牛顿法，可以迭代求解。 原理是利用泰勒公式，在x0处展开，且展开到一阶，即f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0) 求解方程f(x)=0，即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，求解 x = x1=x0－f(x0)/f'(x0) ，因为这是利用泰勒公式的一阶展开，f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的x1并不能让f（x）=0，只能说f(x1)的值比f(x0)更接近f（x）=0，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，可以进而推出x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，通过迭代，这个式子必然在f（x*）=0的时候收敛。整个过程如下图： 2、牛顿法用于最优化 在最优化的问题中，线性最优化至少可以使用单纯行法求解，但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法。假设任务是优化一个目标函数f，求函数f的极大极小问题，可以转化为求解函数f的导数f'=0的问题，这样求可以把优化问题看成方程求解问题（f'=0）。剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。 这次为了求解f'=0的根，把f（x）的泰勒展开，展开到2阶形式： 这个式子是成立的，当且仅当

1.假设求x^2=5的解，求解根号5 2.令f(x)=x^2-5,f(x)=0，蓝色点是根的解，红色是我们假设的根的解 3.画出这个二次函数的图像，我们观察函数解的位置 4.我们假设不知道解的位置猜测这个值是x=2，然后在点(2,f(2))处做切线，切线与x轴点交点与我们要求的根的解比较接近了，我们只要重复这个过程就可以得到一个近似解 5.切线的方程是什么呢，求解切线方程,切线方程的通式y-y0=m(x-x0),m是斜率 6.x1是切线在x轴上的截距，那么如何找到x1截距呢，让y=0 0-y0=m(x1-x0),化简-y0/m=x1-x0 -> x1 = x0-y0/m ->y0用f(x)替代，m是斜率用导数替代 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) 7.根据算出来的截距，在点(x1,f(x1))做切线，切线的截距会不断的靠近我们要求的点，也就是利用切线的根来不断逼近要求解曲线的根，重复上面的过程直到收敛 y = x^2 - 5 = 0 x1 = x0 - y0/f'(x0) x1 = x0 - x0^2-5/2x0 化简 x1 = (x0 + 5/ x0)/2 function mysqrt(x){ r = x; while(r * r > x){ r = (r + x / r)/2 } return r } console.log(mysqrt(64)) 来源：博客园

牛顿迭代法 1.假设求x^2=5的解，求解根号5 2.令f(x)=x^2-5,f(x)=0，蓝色点是根的解，红色是我们假设的根的解 3.画出这个二次函数的图像，我们观察函数解的位置 4.我们假设不知道解的位置猜测这个值是x=2，然后在点(2,f(2))处做切线，切线与x轴点交点与我们要求的根的解比较接近了，我们只要重复这个过程就可以得到一个近似解 5.切线的方程是什么呢，求解切线方程,切线方程的通式y-y0=m(x-x0),m是斜率 6.x1是切线在x轴上的截距，那么如何找到x1截距呢，让y=0 0-y0=m(x1-x0),化简-y0/m=x1-x0 -> x1 = x0-y0/m ->y0用f(x)替代，m是斜率用导数替代 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) 7.根据算出来的截距，在点(x1,f(x1))做切线，切线的截距会不断的靠近我们要求的点，也就是利用切线的根来不断逼近要求解曲线的根，重复上面的过程直到收敛 利用牛顿迭代法求解平方根 y = x^2 - 5 = 0 x1 = x0 - y0/f'(x0) x1 = x0 - x0^2-5/2x0 化简 x1 = (x0 + 5/ x0)/2 function mysqrt(x){ r = x; while(r * r > x){ r = (r + x / r)/2 } return r } console.log