莫比乌斯反演

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算，特别是对于求解gcd的问题。 在学习莫比乌斯反演之前，我们先了解下积性函数。 积性函数 ： 定义 ：定义域为N+ 的函数 f，对于任意两个互质的正整数a, b: gcd(a, b) = 1，均满足f(ab) = f(a) ∗ f(b)，则函数f 被称为积性函数。假如对于任意两个正整数a, b 均有f(ab) = f(a) ∗ f(b)，则称f 为完全积性函数。 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。 积性函数的 性质 ： • f(1) = 1 • 考虑一个大于1 的正整数N，设N = ∏ pi ai ,其中 pi 为互不相同的质数，那么对于一个积性函数 f, f(N) = f( ∏ pi a i ) = ∏ f(pi a i ) , 如果f 还满足完全积性，则 f(N) = ∏ f(pi) ai 。 • 若 f(n), g(n) 均为积性函数，则函数h(n) = f(n)g(n) 也为积性函数。 • 若 f(n) 为积性函数，则函数F(n) = Σ d|n f(d) 也是积性函数，反之亦然。 莫比乌斯反演 定理 ： 和 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件 ，那么我们得到结论 。 这是莫比乌斯反演的一般描述，即： 而在算法竞赛中，我们常用的是它的另一种描述： 其中 为莫比乌斯函数，它的定义如下： （1）若

莫比乌斯函数 定义 设 \(n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i}\) ，则 \(\mu(n)=(-1)^k\) ，特别地 \(\mu(1)=1\) 。 性质 最常用性质 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 反演性质 \(F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}F(d)\mu(\frac{n}{d})\) \(F(n)=\sum_{n|d}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{n|d}F(d)\mu(\frac{d}{n})\) 常用性质 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\) 欧拉函数 定义 设 \(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\) ，有 \(\phi(n)=n\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}\) 。 性质 最常用性质 \(\sum_{d|n}\phi(d)=n\) 零零散散的一些性质（没收集完） \(\phi(ab)=\frac{\phi(a)\phi(b)gcd(a,b)}{\phi(gcd(a

前置知识：莫比乌斯反演学习笔记1 本文介绍一些莫比乌斯反演的灵活应用，包括杜教筛等内容。 一、整除分块（数论分块） 补充一点基础知识... 具体来说就是：如果我们要求 \(\sum \limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) ，并不需要用朴素算法 \(O(n)\) 去求，可以加快速度。 定理1：所有 \(1 \leq i \leq n\) 的 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的结果最多只有 \(2\sqrt n\) 种。 证明：对于 \(i \in [1,\sqrt n]\) ，显然最多只有 \(\sqrt n\) 种取值，而对于 \(i \in [\sqrt n+1,n]\) ， \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\leq\sqrt n\) ，因此也最多有 \(\sqrt n\) 种取值，两个部分相加，因此最多有 \(2\sqrt n\) 种取值。 定理2：对于确定的 \(i\) ，能使得 \(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的 \(x_{max}=\Big\lfloor\cfrac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\Big\rfloor\) 。 这里选取了两种证明方法。 证法1：记 \(f

莫比乌斯反演学习笔记1 在这里首先要说明： 1：本文讨论的所有函数为数论函数，即定义域为 \(D=N^*\) 的函数； 2： \(\sum \limits_{d|n}f(d)\) 表示 \(d\) 取遍 \(n\) 的所有 正因子 ，再将所有的 \(f(d)\) 相加，例如当 \(n=6\) 时， \(\sum \limits_{d|n}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)\) ； 3： \(\prod \limits_{i=1}^ka_i=a_1 \times a_2 \times ... \times a_k\) ，即所有 \(a_i\) 的乘积； 4： \([p]\) （其中p是一个表达式）表示当p成立时，值为1；否则值为0； 5： \((a,b)\) 表示 \(gcd(a,b)\) ，即 \(a,b\) 的最大公因数； 6：几个在狄利克雷卷积中会出现的基本函数： \(\varepsilon(n)=[n=1]\) ，也就是 \(\varepsilon(n)=\begin{cases}1\qquad n=1\\0 \qquad n \neq 1 \end{cases}\) \(I(n)=1\) \(id(n)=n\) 一、积性函数 定义：如果一个函数 \(f(n)\) 满足：当 \((a,b)=1\) 时，有 \(f(ab)=f(a) \times f(b)\)

【BZOJ2671】Calc BZOJ 给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数： 1. \(1\le a\lt b\le N\) 2. \(a+b\) 整除 \(a*b\) 我竟然粘了题面！！！ 还是今天菊开讲的。 设出 \(d=gcd(a,b)\) 那么，设 \(a=xd,b=yd,gcd(x,y)=1\) \((x+y)d|xyd^2,x+y|xyd\) 根据辗转相减的原理 可以得到 \(gcd(x+y,x)=gcd(x+y,y)=gcd(x,y)=1\) ，所以 \(x+y|d\) 。 设 \(d=k(x+y)\) ，因为 \(a<b\) ，所以 \(x<y\) ，因为 \(d=k(x+y)\le n\) 而 \(b=yd=yk(x+y)\le n\) 所以确定了 \(x,y\) 之后，有 \(\frac{n}{y(x+y)}\) 个 \(d\) 根据上面的式子，还可以知道 \(y\lt\sqrt n\) 所以，我们要求的就是 \[\sum_{x=1}^{\sqrt n}\sum_{y=x+1}^{\sqrt n}[gcd(x,y)=1]\frac{n}{y(x+y)}\] 这样直接算的复杂度是 \(O(nlogn)\) 发现 \(gcd\) 的形式非常可以莫比乌斯反演 先把 \(x,y\) 反过来 \[\sum_{y=1}^{\sqrt n}\sum_{x=1}^

一些函数的一些性质 取整函数 \(\lfloor x \rfloor\) （一） \(\lfloor x \rfloor <= x < \lfloor x \rfloor +1\) （二）对任意x与正整数a，b \(\lfloor \lfloor \frac{x}{a} \rfloor /b\rfloor=\lfloor \frac{x}{ab}\rfloor\) （三）对于正整数n，1 -- n中d的倍数个数为 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\) （四）若n为正整数， \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\) 不同取值个数不超过 \(2\times\sqrt{n}种\) 证明： \(（1）若d \leq{\sqrt{n}},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor只有不超过\sqrt{n}种\) \(（2）若d>\sqrt{n}，\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \leq \frac{n}{d} \leq \sqrt{n},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过\sqrt{n}种\) \(综上,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过2\times{\sqrt{n}}种\) 调和数 定义 \[Hn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}

积性函数(前置知识) 积性函数定义： 函数 \(f(x)\) 满足 \(gcd(a, b) = 1\) 时， \(f(ab) = f(a)f(b)\) 则 \(f(x)\) 为积性函数 常见积性函数 (具体证明可以百度=w=) 欧拉函数 \(ϕ(n)\) \(ϕ(n) = n ∗∏(pi − 1)/pi\) 莫比乌斯函数 \(µ(n)\) 当 \(n\) 有平方因子 如 \(n=∏_{i=1}^{t}pi^{ci}(表示n有t个互不相同质因子pi，每个pi的次数是ci)\) 当某 \(ci>=2(即有平方因子)\) ，则 \(µ(n) = 0\) 否则，若 \(n\) 为 \(k\) 个不同质数的乘积， \(µ(n) = (−1)^k\) 除数函数 \(σ_k(n)\) 表示所有正因子的 \(k\) 次幂和 \(σ_0(n) = d(n)\) 表示正因子的个数 \(σ_1(n) = σ(n)\) 表示正因子的和 完全积性函数 幂函数 \(id_k(n) = n^k\) \(id_0(n) = 1(n) =1\) \(id_1(n) = id(n) = n\) 单位函数 \(ϵ(n) = [n = 1]\) ： \(即ϵ(n)仅当n=1时值为1，其它都为0\) 狄利克雷卷积 Dirichlet 卷积 对两个数论函数 \(f, g\) ，定义其 Dirichlet 卷积为新函数 \(f

目录 莫比乌斯反演 莫比乌斯函数 狄利克雷卷积 反演 应用 练习题目 YY的gcd 约数个数和 后记 莫比乌斯反演 莫比乌斯函数 \(\mu(n)=1,n=1\) \(\mu (n)=(-1)^m, n=\prod^m_{i=1}p_i^{k_i},\forall k_i = 1\) \(\mu (n)=0 ,otherwise\) 性质 积性函数 \(\sum _{i|n} \mu(i)=\epsilon (\epsilon = [n=1])\) 筛法 inline void init(){ mu[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!np[i]) pri[++top]=i; for(int j=1;j<=top&&i*pri[j]<n;j++){ int now=i*pri[j]; np[now]=1; if(i%pri[j]) mu[now]=-mu[i]; else{ mu[now]=0;break; //出现平方因子 } } } } 狄利克雷卷积 \((f∗g)(n)=∑_{d|n}f(d)∗g(\frac{n}{d})\) 数论函数与狄利克雷卷积形成群，满足 结合律，封闭性，单位元，逆元 ，同时还满足 交换律 其中单位元为 \(ϵ\) ， \(ϵ(n)=[n=1]\) 比较常用的积性数论函数备用 反演 有 \(f(n)=\sum_{i|n}g

积性函数 对 于 g c d ( a , b ) = 1 , 都 有 f ( a b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) 。 那 么 f ( n ) 是 积 性 函 数 对于gcd(a,b)=1, 都有 f(ab)=f(a)*f(b)。那么f(n)是积性函数 对 于 g c d ( a , b ) = 1 , 都 有 f ( a b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) 。 那 么 f ( n ) 是 积 性 函 数 欧拉函数 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ ( n ) 是一个积性函数，对于一个素数 p p p 。有： ϕ ( p ) = p − 1 \phi(p)=p-1 ϕ ( p ) = p − 1 , ϕ ( p k ) = p k − p k − 1 = ( p − 1 ) p k − 1 \phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1} ϕ ( p k ) = p k − p k − 1 = ( p − 1 ) p k − 1 第一个就根据定义理解，第二个就稍微容斥一下就可以了。 莫比乌斯函数 μ \mu μ 莫比乌斯函数完整定义的通俗表达： 1）莫比乌斯函数 μ ( n ) μ(n) μ ( n ) 的定义域是 N N N 2） μ ( 1 ) = 1 μ(1)=1 μ ( 1 ) = 1 3）当 n n n 存在平方因子时， μ

1.数论函数 定义两个数论函数 \(f(n)\) 与 \(g(n)\) 则 \((f+g)(n)=f(n)+g(n)\) 2.狄利克雷卷积 定义两个数论函数的狄利克雷卷积 \(*\) 定义数论函数 \(t=f*g\) 则 \(\mathbf t(n)=\sum_{ij=n}\mathbf f(i)\mathbf g(j)\) 显然, \(f*g=g*f,f*(g*k)=(f*g)*k,f*(g+k)=f*g+f*k\) 定义数论函数 \(f\) 的单位元 \(ϵ\) ,使得 \(\epsilon\ast\mathbf f=\mathbf f*ϵ\) 不难看出,当 \(i\) 等于 \(1\) 时, \(ϵ(i)=1\) ,否则, \(ϵ(i)=0\) 定义数论函数 \(g\) 为函数 \(f\) 的逆元,即 \(f*g=ϵ\) 则 \(g(n)=\dfrac{1}{f(1)}\left([n==1]−\sum\limits_{i|n,i\ne1}f(i)g(\dfrac{n}{i})\right)\) 3.积性函数 如果一个数论函数 \(f\) 当 \(n⊥m\) 的时候满足 \(f(nm)=f(n)f(m)\) ,则称此函数为积性函数 常见的积性函数: \(*σ*_0\) ( \(n\) 的因数个数), \(\varphi(n)\) ( \([1,n]\) 中与 \(n\)