【BZOJ2671】Calc
BZOJ
给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数：
1.\(1\le a\lt b\le N\)
2.\(a+b\)整除\(a*b\)我竟然粘了题面！！！
还是今天菊开讲的。
设出\(d=gcd(a,b)\)
那么，设\(a=xd,b=yd,gcd(x,y)=1\)
\((x+y)d|xyd^2,x+y|xyd\)
根据辗转相减的原理
可以得到\(gcd(x+y,x)=gcd(x+y,y)=gcd(x,y)=1\)，所以\(x+y|d\)。
设\(d=k(x+y)\)，因为\(a<b\)，所以\(x<y\)，因为\(d=k(x+y)\le n\)
而\(b=yd=yk(x+y)\le n\)
所以确定了\(x,y\)之后，有\(\frac{n}{y(x+y)}\)个\(d\)
根据上面的式子，还可以知道\(y\lt\sqrt n\)
所以，我们要求的就是
\[\sum_{x=1}^{\sqrt n}\sum_{y=x+1}^{\sqrt n}[gcd(x,y)=1]\frac{n}{y(x+y)}\]
这样直接算的复杂度是\(O(nlogn)\)
发现\(gcd\)的形式非常可以莫比乌斯反演
先把\(x,y\)反过来
\[\sum_{y=1}^{\sqrt n}\sum_{x=1}^{y-1}[gcd(x,y)=1]\frac{n}{y(x+y)}\]
直接莫比乌斯反演化简
\[\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{y=1}^{\sqrt n}\sum_{x=1}^{y-1}\frac{n}{yd^2(x+y)}\]
复杂度？假的，直接艹吧。。
#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; #define ll long long #define MAX 111111 int n,m;ll ans; bool zs[MAX]; int pri[MAX],mu[MAX],tot; ll Calc(int n,int m) { ll ret=0; for(int i=1;i<=m;++i) { int t=n/i; for(int j=i+1,k;j<(i<<1)&&j<=t;j=k+1) k=min((i<<1)-1,t/(t/j)),ret+=1ll*(k-j+1)*(t/j); } return ret; } int main() { cin>>n;m=sqrt(n);mu[1]=1; for(int i=2;i<=m;++i) { if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;i*pri[j]<=m;++j) { zs[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];else break; } } for(int i=1;i<=m;++i)if(mu[i]!=0)ans+=mu[i]*Calc(n/i/i,m/i); cout<<ans<<endl;return 0; } 原文：https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9275701.html