零空间

 说道线性代数, 我们自然就想到矩阵, 那我们该如何理解矩阵呢? 矩阵与线性变换 若一个变换 \(L\) 满足以下两条性质 \[ \begin{align*} L(\vec v+ \vec w) &= L(\vec v) + L(\vec w) &(1) \text{"可加性"} \\ L(c\vec v) &= c L(\vec v) \quad\quad\ &(2) \text{"成比例"} \end{align*} \] 则称 \(L\) 是线性的. 值得注意的一点时, 线性变换中, 坐标系的原点不动, 即零向量的变换结果还是零向量. 我们来看看矩阵与线性变换的关系 \[ A(v+w) = Av + Aw \Leftrightarrow L(\vec v+ \vec w) = L(\vec v) + L(\vec w)\\ A(cv) = c(Av) \Leftrightarrow L(c\vec v) = c L(\vec v) \] 可以看出矩阵完全满足线性变换的要求, 所以现在你应该将矩阵看做线性变换, 这会给我们理解很多线性问题带来很大的好处. \(\bigstar\) 如果想知道线性变换对于一个输入向量空间有什么影响, 我们只需要知道该线性变换对该输入空间的基有什么影响, 我们就能知道所有信息. 假设 n 维输入空间 \(R^n\) 的基为 \(v1, v_2,

本课时将讲解如何计算那些空间中的向量，从概念定义转向算法，求解Ax=0的算法是怎样的，即如何求解零空间。 消元法解Ax=0 消元过程中，方程通过加减消元本质上是线性变换，解是不会改变的。实际上， 消元法改变了系数矩阵的列空间，而不改变系数矩阵的行空间。 所以，注意消元过程中不变的是什么，随消元不变的是方程组的解。 行向量或者列向量之间的相关性可以在消元过程中表现出来。A中第一列和第二列共线，A的第三行是第一行和第二行的线性组合。 看例子： A矩阵第一阶段的消元是把主元1那一列下面的元素变为0，第二阶段的消元是把主元2那一列下面的元素变为0，最终得到阶梯型echelon的矩阵U。图中圈出来的为主元，个数为2，这里引出一个重要概念： 矩阵的秩Rank(A)： 矩阵主元的个数。 如此，我们在解Ax=0，现在变为了Ux=0，但解和零空间不变，现在进行回代 找出“主变量”pivot variables，主列，即主元所在的列，其他列，称为自由列。（自由列表示可以自由或任意分配数值，列2和列4的数值是任意的，因此x2和x4是任意的，可以自由取）。当我们把x2和x4分别取1和0时，可得到解x=c(-2 1 0 0)，c是常数，表示第二列减去2倍第一列为0。此时解是四维空间中穿过原点的一条直线。 因此，解Ax=0的 新算法 ： 1）A矩阵消元，确定主元，解出主变量，也就确定主列，其余为自由列

一、向量空间 　 线性代数是研究向量和矩阵的一门数学，矩阵也是向量构成的，所以线性代数主要是研究向量，向量空间以及向量线性组合性质的一门科学。 　我们知道向量有几种基本的运算，向量加法，就是向量里的每一个分量对应相加，向量与一个标量相乘，就是向量里的每一个分量与该标量相乘，即： $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\left(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}, \dots u_{n}+v_{n}\right)$ $k \mathbf{u}=\left(k u_{1}, k u_{2}, \ldots, k u_{n}\right)$ 　我们先说一下什么是空间，这样一个空间有些什么最基本的特点。以三维空间为例： 1: 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成 2: 这些点之间存在相对的关系 3: 可以在空间中定义长度、角度 4: 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动 　 其中第四条： 容纳运动是空间的本质特征。 　 如果把向量看成是空间中的一个个点，那么向量的变换就是这个点在空间中的运动。所以说，向量空间也是一个集合，这个集合对向量的加法和数乘是封闭的 　也就是说， 只要向量在这个空间内，那么向量按照加法和数乘的方式运动，就会一直在这个空间里 。所以