解析数论

作者 | 何通木 来源 | 知乎 大家好，我是来自清华大学数学系的准大四学生何通木。学了三年现代数学，我想把自己的一些感悟记录下来。回头看这三年，觉得走了很多弯路、做了很多意义不大的事情，想来是跟学长、老师们的深层次沟通少了，所以想用剖析自己的经历、优缺点的方式，向大家展示一个天分普通的学生的本科学习历程，希望后来人能够更好地利用这三年时间。 对于不想从头看到尾的同学，可以根据目录挑选想看的部分，也可以只看第八节：修习顺序建议。以下观点仅为个人观点，欢迎大家讨论！ 目录 一、指导思想 二、最基本的语言：数分、线代、抽代、拓扑、流形 三、启发性的直观：黎曼曲面、微分拓扑、微分几何 四、大一统的理论：代数拓扑、代数几何 五、辅助性的工具：同调代数、交换代数 六、数学的皇后：代数数论 七、准备丘赛 八、修习顺序建议 九、附录：课程大纲 一、指导思想：广度优先 为什么我是大三结束的时候来写这篇建议呢，因为到了大四大家已经要开始准备自己那一个小方向的毕业论文了，前三年才是基础数学的基础性学习阶段。老师们都说，在本科时候要多学点东西；丘成桐先生也经常说，数学家至少要精通两个方向，才有可能发现不同方向的联系，才能做出大成就。“发现不同学科的联系”是我逐渐领悟到的努力目标，其本质是更好地理解数学，同时也是把冗余的东西缩并起来，化归到自己原有的知识体系中。 所以这篇建议的（来源于我的）局限性在于

问：是什么使您以数学为职业的？ 答：我记得大概是从七、八岁时起喜欢数学的。在中学里， 我常做一些高年级的题目。那时，我寄宿于Nimes，与比我大的孩子住在一起，他们常常欺侮我，为了平抚他们，我就经常帮他们做数学作业。这是一种最好的训练。 我母亲是药剂师（父亲也是），并且喜欢数学。在她还是Montpellier大学的药剂学学生时，只是出于兴趣，选修了一年级的微积分课，且通过了考试。她精心保存了当年的微积分课本（如我没记错的话，是Fabry和Vogt写的 ）。在我十四、十五岁时常翻看它们并学习其中的内容。我就是这样知道了导数、积分和级数等（我采用一种纯形式的方式----可以说是Euler风格： 我不喜欢也没弄懂ε和δ。那时，我一点也不知道做数学家可以谋生。只是到后来我才发现做数学也有报酬！我首先想到的是我将成为一个中学教师：这在我看来是自然的。于是，在十九岁时，我参加了高等师范学校的入学竞争考试并取得了成功。一进“高师”，事情就清楚了，中学教师并不是我要干的，我要的是从事研究的数学家。 问：您对其他学科，像物理或化学，是否有过兴趣？ 答：对物理不怎么感兴趣，但对化学有兴趣。我说过，我双亲是药剂师，所以他们有很多化学药品和试管。我十五、十六岁时，在做数学之外，经常摆弄它们。我还读了父亲的化学书（我至今还留有一本很吸引人的Jacques Duclaux著的《胶体》（Les

1.1 Introduction The principle of induction 归纳法则 意思应该是：证明了1成立，如果n成立意味着n+1成立，那么对于所有大于等于1的数都成立 Well-ordering principle 良序原理 在学习本书过程中作为公理用 1.3 Greatest common divisor 定理1.2用归纳法证明其实原理还是a-b b和a b有共同的最大公约数 定理1.4(b)证明 d = (a,(b,c))，则d|a,d|(b,c)，那么d|a,d|b,d|c 那么d|(a,b)，那么d|((a,b),c) 同理，如果e=((a,b),c)，则e|(a,(b,c)) 所以d=e 1.4 Prime numbers 定理1.9书中证明不清楚，查看了wiki百科证明如下 px+ay=1 xpb+yab=b p|ab 所以p|(xpb+yab)=b 1.6 The series of reciprocals of the primes 这一章最难懂的证明就是下面这步： 为什么说不等式右边项包含全部左边项 对于任意 1 1 + n Q //--> ，将其表示为素数因子的乘积，假设因子个数为t(高于1次算多个)，则其必然位于右边项t的式子中，且次数大于等于1。 为什么 ∑ r n = 1 1 1 + n Q //--> 发散？ 因为 1 1 + n Q