解析数论引论 第1章 算术基本定理

1.1 Introduction

The principle of induction 归纳法则
意思应该是：证明了1成立，如果n成立意味着n+1成立，那么对于所有大于等于1的数都成立
Well-ordering principle 良序原理
在学习本书过程中作为公理用

1.3 Greatest common divisor

定理1.2用归纳法证明其实原理还是a-b b和a b有共同的最大公约数
定理1.4(b)证明
d = (a,(b,c))，则d|a,d|(b,c)，那么d|a,d|b,d|c
那么d|(a,b)，那么d|((a,b),c)
同理，如果e=((a,b),c)，则e|(a,(b,c))
所以d=e

1.4 Prime numbers

定理1.9书中证明不清楚，查看了wiki百科证明如下
px+ay=1
xpb+yab=b
p|ab
所以p|(xpb+yab)=b

1.6 The series of reciprocals of the primes

这一章最难懂的证明就是下面这步：
为什么说不等式右边项包含全部左边项
对于任意$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- \frac 1{1+nQ} //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$，将其表示为素数因子的乘积，假设因子个数为t(高于1次算多个)，则其必然位于右边项t的式子中，且次数大于等于1。

为什么$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- \sum_{n=1}^r\frac1{1+nQ} //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$发散？
因为$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- \frac1{1+nQ}<\frac1n //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$，而调和级数发散

Exercise

1. 1=ax+by, a=cp, b=dq, so 1=cpx+dqy
2. 1=ax+by, 1=ax+cz, so 1=(ax+by)(ax+cz)=x(aax+by+cz)+bcyz
3. (a, b)=1, so a and b have no commom prime factor, so do $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- a^n //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$ and $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- b^k //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$
4. 1=ax+by, let m=a+b, n=a-b, then 2=(m+n)x+(m-n)y=m(x+y)+n(x-y)
   if 2|x+y and 2|x-y then (a+b, a-b)=1 else (a+b, a-b)=2
5. as exercise 4, but more complex:
   1=ax+by, let m=a+b, n=$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- a^2-ab+b^2 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, then a/b=$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- \frac{3m\pm\sqrt{12n-3m^2}}6 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$
   so $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- (12n-3m^2)(x-y)^2=(6-3m(x+y))^2 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$
   so $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- 3=n(x-y)^2+m(3(x+y)-m(x^2+xy+y^2))=ni+mk //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$
   so the result is 1 or 3 depend on whether 3|(i,k)
6. 1=ax+by, cd=a+b then 1=(cd-b)x+by=dcx+b(y-x) so (d,b)=1
7. (a/b)+(c/d)=n, so ad+bc=nbd, so (a-bn)d+bc=0, because (a,b)=1, b|d, in the same way d|b so |d|=|b|
8. if n is squarefree, choose the max integer c such that $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- c^2|n //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, then a=c, $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- b=n/c^2 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, if n is not squarefree, then a=1, b=n
9. (a) 4|36 and 9|36 and 4<9 but $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- 2\nmid3 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$
   (b)$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- b^2 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$ is the largest, so $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- a^2|b^2 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, so a|b
10. m=ax+by,n=cx+dy, so (a,b)|m and (a,b)|n. so (a,b)|(m,n), the prove of (m,n)|(a,b) is similar
11. the lowest digit must be odd:1 3 5 7, 5|$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- 1^4+4or3^4+4or7^4+4 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, only leave numbers of n=10k+5, how to prove this?
    $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)) //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$ from newsmth.net
12. (a) true let n=1 we get a|b, even n>1, we have m =
    $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- (b/a)^n //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, m is not integer unless b/a is integer, so a|b
    (b) false $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- 4^4|10^{10} //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, however $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- 4\nmid10 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$
    (c) true the difference with (a) is only factor 2, let $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- a=2^{k_a} //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- b=2^{k_b} //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, we get $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- nk_a<nk_b+1 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$ for all n, so $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- k_a<k_b //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$
13. (a) $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- a^m=nb^m //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, so $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- b^m|a^m //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, so b=1 because 12(a)
    (b) let $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- c = n^{1/m}=p/q //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$ so $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- (p/q)^m=n //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, so q=1 and $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- p^m=n //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$, contradict with the assumption of n is not the mth power of n
14. assume a=x^m and m

Chapter2 Arithmetical Functions and Dirichlet Multiplication

定理2.2的证明中说所有A(d)的并是S，因为S中任意数与n的gcd肯定是n的因子，某个d；而且对于某个确定的数a，gcd(a,n)是固定的，因此a只属于某个A(d)，而且不同的d，A(d)没有交集
A(d)与$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- 0\lt q\le n/d (q, n/d)=1 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$的对应关系是，如果$<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- (q, n/d)=x>1 //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$，那么(dq,n)=xd>d

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来源：CSDN

作者：buck

链接：https://blog.csdn.net/buck84/article/details/47732443