费马小定理&欧拉定理
在 p 是素数的情况下，对任意整数 x 都有 x p ≡ x(mod p) 。这个定理被称作费马小定理 其中如果 x 无法被 p 整除，我们有 x p-1 ≡ 1(mod p) 。利用这条性质，在 p 是素数的情况下，就很容易求出一个数的逆元。那上面的式子变形之后得到 a -1 ≡ a p-2 (mod p) ，因此可以通过快速幂求出 逆元 。 我们先来证明一下费马小定理： 费马小定理证明： 一、 准备知识 引理 1 ：剩余系定理 2 若 a,b,c 为任意 3 个整数 ,m 为正整数 , 且 (m,c)=1, 则当 ac≡bc(mod m) 时 , 有 a≡b(mod m) 证明： ac≡bc(mod m) 可得 ac–bc≡0(mod m) 可得 (a-b)c≡0(mod m) 因为 (m,c)=1 即 m,c 互质 ,c 可以约去 ,a–b≡0(mod m) 可得 a≡b(mod m) 引理 2 ：剩余系定理 5 若 m 为整数且 m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m] 为 m 个整数 , 若在这 m 个数中任取 2 个整数对 m 不同余 , 则这 m 个整数对 m 构成完全剩余系 . 证明：构造 m 的完全剩余系（ 0,1,2,…m-1 ） , 所有的整数必然这些整数中的 1 个对模 m 同余 . 取 r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]