反证法

欧几里得算法中的归谬法和反证法 逻辑与算法之七 思索《几何原本》第七卷命题1的证明，是一件十分有趣的事情。 回忆我的小学和中学，好像没有学过反证法似的，归谬法更没有印象。不过，这也许是儿时的记忆有误。数学当中，如果一个命题直接不大好证，我们可以绕个弯，先证明它反面不成立，然后就可以推出，那个待证的原命题是成立的。老师说这样证明有效，你还能反驳什么呢？不过，我们的水平难以反驳，后来真有人反驳这一点。 凭什么？一个和原命题相反的命题它不成立，就证明原命题成立了呢？ 这一篇小文，先给出我对原本七卷那个命题1证明的理解。原本证明过程的叙述太为简洁，我加上了一些自己的理解，给出该命题1的证明。这个证明过程，几乎就是在使用归谬法（Reductio ad absurdum），也可以说使用了反证法（proof by contradiction）。读《几何原本》，可以让我们对这两个证明方法有更精准的认知。 第七卷命题1：（《几何原本》第215页，天津科技出版社2019年版） 设有两不等自然数，依次从较大数减去较小数，若所得余数总是无法量尽它前面一数，直至最后余数为1，则该两数为互质数。 证明： 设较大数为AB，较小数为CD，如果该两数满足命题1条件，结果却不是互质数。 1）若AB和CD不是互质数，则依据几何原本命题12互质数定义，至少存在一个数，可被这两个数整除，也就是这两个数一定至少有一个公约数