一元函数积分学的概念与计算(一)

时光总嘲笑我的痴心妄想 提交于 2020-01-09 13:14:56

 

不定积分

原函数与不定积分

设函数f(x)定义在某区间I上,若存在可导函数F(x),对于该区间上任意一点都有F'(x)=f(x)成立,则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数

,其中C为任意常数

 

原函数(不定积分)存在定理

  • 连续函数f(x)必有原函数F(x)
  • 含有第一类间断点、无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(x)

定积分

 

  • 若f(x)<0,曲边梯形就在x轴下方,定积分的绝对值仍等于曲边梯形的面积,但积分的值是

定积分的精确定义(可以计算特殊形式的数列极限)

定积分存在定理(定积分存在,又称一元函数的(常义)可积性)

常义,"区间有限,函数有界";反常,"区间无穷,函数无界"

定积分存在的充分条件

 

定积分存在的必要条件(有界,从积分曲线上理解,面积不能无穷大)

定积分性质

性质1 求区间长度 

 

 性质2 积分的线性性质

 

 

 性质3 积分的可加性

 

 性质4 积分的保号性

 

如下图,积分的绝对值为0,但绝对值的积分是图形面积的两倍

 

保号性

性质5 估值定理

 

 

性质6 (积分中值定理)

设f(x)在闭区间[a, b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点 ξ,使得 

变限积分

 

变限积分的性质

 

 变限积分存在,必然连续

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