导数

类型1、下限为常数，上限为函数类型 第一步：对于这种类型只需将上限函数代入到积分的原函数中去，再对上限函数进行求导。 第二步：对下面的函数进行求导，只需将“X”替换为“t”再进求导即可。 类型2、下限为函数，上限为常数类型 第一步：基本类型如下图，需要添加“负号”将下限的函数转换到上限，再按第一种类型进行求导即可。 第二步：题例如下，添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。 类型3、上下限均为函数类型 第一步：这种情况需要将其分为两个定积分来求导，因为原函数是连续可导的，所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。 第二步：然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。 第三步：接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。 第四步：对于这种题，可以直接套公式，也可以自己推导。 总结 ： 对于变限积分求导，通常将其转换为变上限积分求导，求导时，将上限的变量代入到被积函数中去，再对变量求导即可。 扩展资料 ： 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是函数的微小的增量，函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量，得到的就是函数的微分；它近似等于函数的实际增量（这里主要是针对一元函数而言)。 而积分是已知一函数的导数，求这一函数。 所以，微分与积分互为逆运算。 实际上，积分还可以分为两部分。第一种

初等函数导数，分段函数导数 来源： CSDN 作者： Major_s 链接： https://blog.csdn.net/qq_41375318/article/details/103904149

1、导数及其应用 函数 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在 x = x 0 x=x_0 x = x 0 ​ 处的瞬时变化率是: lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx} Δ x → 0 lim ​ Δ x Δ y ​ = Δ x → 0 lim ​ Δ x f ( x 0 ​ + Δ x ) − f ( x 0 ​ ) ​ 称它为函数 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在 x = x 0 x=x_0 x = x 0 ​ 处的 导数 (derivative),记作 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ​ ) 或 y ′ ∣ x = x 0 y'|_{x=x_0} y ′ ∣ x = x 0 ​ ​ . 1.1、基本初等函数的导数公式 常数的导数是0; x a x^a x a 导数为 a x a − 1 ax^{a-1} a x a − 1 ; sin ⁡ x \sin{x} sin x 导数为 cos ⁡ x \cos{x} cos x ; cos ⁡ x \cos

解决问题 　　实现基于特征范围的树状遍历的回归。 解决方案 　　通过寻找样本中最佳的特征以及特征值作为最佳分割点，构建一棵二叉树。选择最佳特征以及特征值的原理就是通过满足函数最小。其实选择的过程本质是对于训练样本的区间的分割，基于区间计算均值，最终区域的样本均值即为预测值。 　　在预测的时候，将会根据提供的样本的特征，来遍历二叉树（确定区域的过程），其中叶子节点的值就是预测值。 　　构建回归决策树，过程，其实可以理解对训练样本进行监督式聚类，每个分类都是有一组特征逻辑范围做描述；预测的时候，其实就是在匹配，那个分类逻辑范围路径和预测样本匹配，然后取这个分类里面的y值均值作为预测值。 　　因为决策树每一步都是当前损失函数的最优解，所以本质还是贪心算法，因为每一步都是局部最优；所以CART的回归算法也是一种启发式算法的范畴。 实现 　　通过下面的公式可以看出来解决方案的实现，因为CART的回归，所以解决的思路求得是损失函数的最小值，如下式所示： 　　R1和R2两个区域代表的是二叉树（j特征的特征值s作为逻辑判断条件）所划分的两个区域（样本集合）； R1(j, s) = {x | xj ≤ s}, R2(j, s) = {x | xj > s} 　　其中minC1，minC2代表的是区域的最佳输出值，这个最佳值是各自区域的y值的均值，上式可以写成（将minC1/

【导数】是用来分析变化的。 导数有什么用？ 导数是用来分析变化的。 以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。 曲线上的一点如何向另一点变化，就是通过倾斜度的“缓”与“急”来表现的。对一次函数求导会得到直线的斜率，对曲线函数求导能得到各点的斜率。 综上所述，导数是用来分析“变化”的工具。 导数是什么 用下面的图来说明导数是什么 某一点的斜率和瞬间斜率 课本上讲了函数的瞬时变化率，但是对于同学们来说，这个讲法太不好理解。我们还是用，解析几何里面经常讲的斜率来说比较好。 前面说了，导数的目的是分析变化。突然提出“变化”，你可能无法理解，我们以过山车为例来说明一下。 ​ 过山车的车道多为曲线，因此我们可以认为乘坐者是在过山车的轨道曲线上移动。过山车向下俯冲、水平前行、向上攀升，在不同的地点，乘坐者的身体会产生拉、拽或失重等不同感受。这种状况出现的重要原因之一，就是身体的方向和速度发生了变化。过山车的轨道为曲线，乘客在轨道上任意一点的方向和趋势都不相同。 ​ 以数学思维来思考该话题的话，函数图形中的曲线就相当于过山车轨道，图形上的点就是飞驰在轨道上的过山车。试着描绘一下过山车在曲线各点上的运动趋势，会发现它们都朝着各自不同的方向前进。只是不知道图形上点的移动速度而已。 ​

深度学习中的数学 1、数学是基石，编程为工具 2、深度学习基本全是优化问题（数学） 微积分知识重点： ① 导数：导数法则、常见的函数的导数、 ② 多元函数的导数：求梯度（偏导数）、二阶导数和hess矩阵 l 为什么需要使用矩阵表达多元函数？ 方便计算、简洁 l 二次型求梯度 特别简单（需要了解：张矩阵）、 泰勒级数和极值： l 实际中我们想求一个函数的极值点： 令f’(x) = 0, 哇，太难了 ............ 怎么办？（泰勒展开） 一阶函数函数的导数是一个数，可以确定函数的极值点。 但是二阶、多阶呢？ 写成二次型后求 hess 矩阵，判断 hess 矩阵的正定性。 l 为什么要用梯度下降法？？？ 使用泰勒展开，如果 δ为函数的梯度， 为了求出 f’(x) = 0 ，是一种迭代求法。 概率论知识 ： 随机变量：分布函数、累积分布函数（求概率）、概率密度函数（累积分布函数的导数） l 高斯分布（最完美的分布） 对称轴： μ 分散程度：δ 独立的高斯变量相加 仍然是高斯分布！（神奇） 。 X = x1 + x2 + x3 （三项以后） ( 任意独立分布加起来 也是高斯分布 ) 贝叶斯公式 （机器学习中最重要的公式） ： 矩阵重点： 特征值和特征向量的理解： Ax = λ x 这个式子是如此的简单粗暴，以致于从这个公式来看，给向量 x 乘上一个矩阵 A

机器学习中所需要用到的数学知识： 微积分　　线性代数　　概率论　　最优化方法 1.导数 求导公式 （一元）左导数与右导数都存在且相等，此处的导数才存在。 基本函数求导： 两个重要极限： 　　单调有界的序列必定收敛 　　夹逼定理 导数四则运算： 复合函数求导： 高阶导数： 导数与函数单调性的关系： :函数在此点单调增 ：函数在此点单调减 极值定理： ：（驻点）函数在此点是极值点，可能是极大值（二阶导小于零），也可能是极小值（二阶导大于零）可能是拐点（二阶导等于零） 拐点是凹函数与凸函数的交替点。 导数与函数凹凸性的关系： 凸函数：函数内任意两点的连线，大于两点间的任一点的函数值。 凹函数：函数内任意两点的连线，小于两点间的任一点的函数值。 二阶导大于零，是凸函数。 二阶导小于零，是凹函数。 2.一元函数泰勒展开 3.向量 向量与其运算： 向量分为行向量和列向量。 转置：行向量转置变为列向量，列向量转置变为行向量。 加法：对应位置分量相加 减法：对应位置分量相减 数乘：数与每个分量分别相乘 内积：两个向量的对应分量相乘再相加，两个向量转换为一个标量 a=(a1,a2,...,an),b=(b1,b2,...,bn)-------->a与b内积=a1b1+a2b2+...+anbn 向量的范数 L-P:L的P范数: ，P一般取整数。 L-1范数： L-2范数： 3.矩阵 矩阵与其运算

【导数】是用来分析变化的。 导数有什么用？ 导数是用来分析变化的。 以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。 曲线上的一点如何向另一点变化，就是通过倾斜度的“缓”与“急”来表现的。对一次函数求导会得到直线的斜率，对曲线函数求导能得到各点的斜率。 综上所述，导数是用来分析“变化”的工具。 导数是什么 用下面的图来说明导数是什么 某一点的斜率和瞬间斜率 课本上讲了函数的瞬时变化率，但是对于同学们来说，这个讲法太不好理解。我们还是用，解析几何里面经常讲的斜率来说比较好。 前面说了，导数的目的是分析变化。突然提出“变化”，你可能无法理解，我们以过山车为例来说明一下。 ​ 过山车的车道多为曲线，因此我们可以认为乘坐者是在过山车的轨道曲线上移动。过山车向下俯冲、水平前行、向上攀升，在不同的地点，乘坐者的身体会产生拉、拽或失重等不同感受。这种状况出现的重要原因之一，就是身体的方向和速度发生了变化。过山车的轨道为曲线，乘客在轨道上任意一点的方向和趋势都不相同。 ​ 以数学思维来思考该话题的话，函数图形中的曲线就相当于过山车轨道，图形上的点就是飞驰在轨道上的过山车。试着描绘一下过山车在曲线各点上的运动趋势，会发现它们都朝着各自不同的方向前进。只是不知道图形上点的移动速度而已。 ​

矩阵微积分的一些实用结论与推导 向量与矩阵的相关运算 矩阵的一元运算 矩阵的拉直算子 矩阵的迹 矩阵的行列式 伴随矩阵与矩阵的逆 矩阵的二元运算 矩阵的乘法 Hadamard乘积 Kronecker积 数量对向量的导数 数量对列向量的导数 对内积运算求导 对矩阵与向量的乘积求导 对二次型求导 矩阵对矩阵的导数 数量对矩阵的导数 对矩阵的一元运算求导 对拉直算子求导 对矩阵的迹求导数 对矩阵的行列式求导数 对矩阵的二元运算求导 对矩阵的乘法求导 对矩阵的Hadamard乘积求导 对矩阵的张量积求导 在一些优化问题中，经常会出现选择向量或者矩阵来最优化某个目标函数的情况，要想从理论上求解这类优化，就需要正确计算目标函数关于向量或者矩阵的导数。比如多元回归模型中，要用最小二乘法估计回归系数，需要做以下的最优化： min ⁡ β Q = ( Y − X β ) 2 {\min_{\beta}} Q=(Y - X\beta)^2 β min ​ Q = ( Y − X β ) 2 然而现有的教材和论文都只是需要什么就临时查证推导一下，很少有系统地总结目标函数怎么对向量或矩阵求导的资料。这篇博文比较全面地整理了向量与矩阵的一些常用运算，以及怎么对这些常用运算求导的方法。有张量积和拉平算子就足以解决大部分领域的问题了，所以这篇博文不会涉及张量以及张量分析的内容

背景 想一想，图片压缩我们已经司空见惯了，好比哔哩哔哩的视频就有1080P, 720P,已经480P和360P。不同的视频他的分辨率不一样。 那么我们考虑一个新鲜的东西，我们用来画图的数据怎么来进行压缩呢？好比下面的曲线： 上面的数据呢是我随即生成了10000个数据点绘制出来的，那么，问题来了，如果想对上面的 数据进行压缩 要怎么办呢？ 思路 思考一下视频的压缩，图表数据的压缩应该要做到下面的两点： 要像图片那样，压缩后像素点个数要降低，也就是说压缩以后呢数据图表的数据点个数相应也要降低 压缩后的图片不应该 失真严重，也就是说压缩前是什么形状的，你压缩后也应该是什么形状的 基于上面的两点我们考虑这个要怎么来实现。其实这里要做的就一个任务： 将数据中的整体无关的冗余信息去除即可 ，那么那些属于冗余信息呢？ 对于折线图来说，如果好几个点连接成的是一条直线，而我们知道，画一条直线只需要连个点就可以画成一条直线，那么这两个点之间的数据就属于冗余信息了，在上面的图中就是下面圈出来的部分，当然下面图片中只摘取了一部分 好了，那么接下来的步骤就是怎么找到这些 类似于直线的部分了 数学里面有一个工具对于找到数据中的直线部分（其实就是导数不变）特别有用，那就是 二次导数 。利用二次导数我们可以很轻松的找到函数中的直线部分。 当然还有一个不同的一点是，我们程序中使用的数据都是离散的数据