贝塞尔曲线

原文请查阅 这里 ，本文采用 知识共享署名 4.0 国际许可协议 共享，BY Troland 。 本系列持续更新中，Github 地址请查阅 这里 。 这是 JavaScript 工作原理的第十三章。 概述 正如你所知，动画在创建令人叹服的网络应用中扮演着一个关键角色。由于用户越来越注重用户体验，商户开始意识到完美，令人愉悦的用户体验的重要性，结果网络应用变得越来越重并且拥有更多动态交互的功能。这就要求网络应用提供更加复杂的动画来实现平滑的状态过渡贯穿于用户的使用过程当中。现在，这已经司空见惯。用户变得越来越挑剔，他们潜意识期许可以获得快速响应和良好交互的用户界面。 然而，让界面具有动画效果不一定是件简单的事情。动画的时机，方面及采用何种动画效果都是很模糊的概念。 JavaScript 和 CSS 动画比较 JavaScript 和 CSS 是创建网页动画的两条主要途径。两种不分好赖，看情况用吧。 CSS 动画 使用 CSS 动画是让元素在屏幕上移动的最简单方法。 我们将会以如何让元素在 X 和 X 座标上移动元素 50 像素作为小示例开始。通过持续 1 秒的 CSS 过渡来移动元素。 .box { -webkit-transform: translate(0, 0); -webkit-transition: -webkit-transform 1000ms; transform:

Canvas教程-MDN HTML 5 Canvas 参考手册 绘制形状 canvas元素默认被网格所覆盖。通常来说网格中的一个单元相当于canvas元素中的一像素。栅格的起点为左上角（坐标为（0,0））。所有元素的位置都相对于原点定位。所以图中蓝色方形左上角的坐标为距离左边（X轴）x像素，距离上边（Y轴）y像素（坐标为（x,y））。 路径path 路径绘制图形步骤： 创建路径起始点, beginPath() 新建一条路径，生成之后，图形绘制命令被指向到路径上生成路径。 使用画图命令去画出路径,如： ctx.strokeRect(50, 50, 50, 50) 封闭路径， closePath() 闭合路径之后图形绘制命令又重新指向到上下文中,不是必需的。这个方法会通过绘制一条从当前点到开始点的直线来闭合图形。如果图形是已经闭合了的，即当前点为开始点，该函数什么也不做。 一旦路径生成，就能通过描边或填充路径区域来渲染图形。 stroke() 通过线条来绘制图形轮廓; fill() 通过填充路径的内容区域生成实心的图形。 直线lineTo 语法： context.lineTo(x, y); 参数 描述 x 路径的目标位置x坐标 y 路径的目标位置y坐标 var canvas = document.getElementById('canvas'); if (canvas

WPF提供两个类来描述路径数据：一个是StreamGeometry，另一个是PathFigureCollection。 <Path Stroke="Black" Data="M 100,240 C 510,300 80,100 300,160 H40 v80" />的形式是StreamGeometry的XAML代码表示形式，也是最简洁的表示形式。 <Path Stroke="Black" StrokeThickness="1" Fill="#CCCCFF"> </Path> 这样的方式是使用PathFigureCollection的XAML代码表示方式。 这两种方式都可以达至同一种显示效果，那么，什么时候使用StreamGeometry，什么时候使用PathFigureCollection方式呢？ 一般地，当你建立路径后，不再需要修改时，可使用StreamGeometry方式，如果还需要对路径数值进行修改，则使用PathFigureCollection方式（这里就是PathGeometry）。 下面来解释一下“M 100,240 C510,300 80,100 300,160 H40 v80”这样字符串的意义。 分为四种情况来解释： 比如：M 100,240或m 100,240 使用大写M时，表示绝对值; 使用小写m时; 表示相对于前一点的值，如果前一点没有指定，则使用(0,0)。

下面三个公式分别是一次、二次和三次贝塞尔曲线公式： 通用的贝塞尔曲线公式如下： 可以看出，系数是由一个杨辉三角组成的。 这里的一次或者二次三次由控制点个数来决定，次数等于控制点个数-1。 实现的效果如下： 代码如下： clear all; close all; clc; p=ginput(); plot(p(:,1),p(:,2),'b-o'); N=length(p); %确定贝塞尔阶数（控制点个数-1） t=zeros(N,N); M=100; %确定贝塞尔曲线点的个数 %计算杨辉三角 for i=1:N t(i,1) = 1; t(i,i) = 1; end if N>=3 for i=3:N for j=2:i-1 t(i,j) = t(i-1,j-1)+t(i-1,j); end end end %根据公式计算贝塞尔曲线 re=zeros(M,2); for i=1:M step = i/M; for k=0:N-1 re(i,1) = re(i,1) + (1-step)^(N-k-1)*p(k+1,1)*step^k*t(N,k+1); %t替换为nchoosek(N-1,k)，不用计算杨辉三角了; re(i,2) = re(i,2) + (1-step)^(N-k-1)*p(k+1,2)*step^k*t(N,k+1); %t替换为nchoosek(N-1,k)

版权声明：转载请注明出处，十分感谢！ https://blog.csdn.net/qq_30683329/article/details/91399633 基于四阶贝塞尔曲线的无人驾驶可行轨迹规划 背景 对于实际的无人车系统来说, 轨迹规划需要保证其规划出来的轨迹满足运动学约束、侧滑约束以及执行机构约束。为了生成满足无人车初始状态约束、目标状态约束的局部可行轨迹, 提出了一种基于四阶贝塞尔曲线的轨迹规划方法. 在该方法中, 轨迹规划问题首先被分解为 轨形规划 及 速度规划 两个子问题.。为了满足运动学约束、初始状态约束、目标状态约束以及曲率连续约束, 由 3 个参数确定的四阶贝塞尔曲线来规划轨迹形状 。 采用四阶贝塞尔曲线的优点 1、本文提出的轨迹规划方法是基于四阶贝塞尔曲线的, 其生成的轨迹满足运动学约束, 并且轨迹以及轨迹曲率是连续的。 2、本文生成的轨迹曲率是有界的.该边界由无人车的转向能力确定, 从而保证该轨迹对转向机构来说是可行的。 3、 本文生成的轨迹速度及加速度是连续的, 并且加速度是有界的。 4、 本文提出的轨迹规划方法对参数初值是不敏感的, 不需要预先存储参数与状态的对应关系。 问题描述 其中曲率、转弯半径、前后轮轴距以及前轮转向角之间的关系： 四阶贝塞尔曲线 如图所示： 这个四阶贝塞尔曲线是一个由5个控制点确定的唯一平面曲线 。其参数化表达式为：

滴滴三面问了这个， 贝塞尔曲线: 在计算机图形学中广泛应用，用来描述矢量曲线或线段 二阶 三阶 注意: 每个线段之间从开始到结尾的移动时间都是相同，按比例的 前端涉及到的地方: 1.用Canvas可以画贝塞尔曲线 2.css动画中的动画属性 animation-timing-function transition-timing-function 负责控制动画快慢的，预定义了五个贝塞尔曲线对应值 Cubic-bezier() 更多资料: https://cubic-bezier.com/

1.需求 WPF本身没有直接把点集合绘制成曲线的函数。可以通过贝塞尔曲线函数来绘制。　　 贝塞尔曲线类是：BezierSegment，三次贝塞尔曲线，通过两个控制点来控制开始和结束方向。 QuadraticBezierSegment，二次贝塞尔，通过一个控制点来控制弯曲方向。 本文使用的是三次。 图片来源维基百科 2.˼· 参考文档是：https://www.cnblogs.com/pangliang/archive/2011/03/24/1993308.html 大值思路是根据当前点，前一个点，后一个点，再后一个点。共四个点，来生成一条三次贝塞尔曲线。 曲线需要（开始点，结束点，控制点1，控制点2），图中标识的两个红色点即是控制点。 代码主要是计算两个红色的控制点。 先计算相邻点的中点【橙色】。 再将中点的连线平移到相邻的位置【蓝色点】，取得虚线，得到虚线的端点【红色】。 红色，即为控制点。 3.主要代码 /// /// 获得贝塞尔曲线 /// /// 当前点 /// 上一个点 /// 下一个点1 /// 下一个点2 /// private BezierSegment GetBezierSegment(Point currentPt, Point lastPt, Point nextPt1, Point nextPt2) { //计算中点 var lastC =

/** * @copyright www.egret.com * @author yjtx * @desc 贝塞尔曲线示例。 * 拖动舞台上圆点，可以查看贝塞尔曲线不同的显示。 */ module game { export class bezierCurve extends egret.DisplayObjectContainer { private _shape: egret.Shape; constructor() { super(); this.addEventListener(egret.Event.ADDED_TO_STAGE, this.onAddToStage, this); } private onAddToStage(event: egret.Event) { this._shape = new egret.Shape(); this.addChild(this._shape); this.init(); this.initGraphics(); } //初始化赋值 private initGraphics(): void { var shape: egret.Shape = this._shape; /*** 本示例关键代码段开始 ***/ shape.graphics.lineStyle(3, 0xff0ff0); shape.graphics.moveTo

一、贝塞尔曲线 1.1 什么贝塞尔曲线 　　贝塞尔曲线(Bézier curve)，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。 　　贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，它通过一个方程来描述一条曲线，根据方程的最高阶数，又可以分为线性贝塞尔曲线、二次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线和更高阶的贝塞尔曲线。 1）二次贝塞尔曲线 　 二次贝塞尔曲线由三个点 P0 、 P1 、 P2 来确定，这些点也被称为控制点，如下图： 　 对于二次贝塞尔曲线的绘制我们可以这样理解： 首先在线段 P0P1 和 P1P2 上分别选取一个点 Q0 、 Q1 ，使得 P0Q0 / P0P1 = P1Q1 / P1P2 = t ， t 的取值范围在[0,1]； 连接 Q0 、 Q1 ，在线段 Q0Q1 上选取一个点 B ，使得 Q0B / Q0Q1 = P0Q0 / P0P1 = P1Q1 / P1P2 = t ，此时B就是曲线上的一点； 将t的值从0过渡到1，不断重复上面的步骤，计算出所有的点 B ，连接所有符合条件的点 B ，就可以得到一条二次贝塞尔曲线。 2）三次贝塞尔曲线 　 三次贝塞尔曲线由四个点 P0 、 P1 、 P2 、 P3 来确定

贝塞尔曲线上控制点坐标分别为：P0(3,8)，P1(2,3)，P2(2,7)，想要返回 10 个在贝塞尔曲线上的点 javascript代码如下：（从项目copy的代码，仅仅针对二维坐标dimersion = 2） 1 /** 2 * @param poss 贝塞尔曲线控制点坐标 3 * @param precision 精度，需要计算的该条贝塞尔曲线上的点的数目 4 * @return 该条贝塞尔曲线上的点（二维坐标） 5 */ 6 function bezierCalculate(poss:Array<Point>, precision:number) { 7 8 //维度，坐标轴数（二维坐标，三维坐标...） 9 let dimersion = 2; 10 11 //贝塞尔曲线控制点数（阶数） 12 let number = poss.length; 13 14 //控制点数不小于 2 ，至少为二维坐标系 15 if (number < 2 || dimersion < 2) 16 return null; 17 18 let result = new Array(); 19 20 //计算杨辉三角 21 let mi = new Array(); 22 mi[0] = mi[1] = 1; 23 for (let i = 3; i <= number; i++) { 24