【NOI2018】屠龙勇士(数论,exgcd)

匿名 (未验证) 提交于 2019-12-03 00:43:02

洛谷

考场上半个小时就会做了,一个小时就写完了。。
然后发现没过样例,结果大力调发现中间值爆\(longlong\)了,然后就没管了。。
然后又没切掉。。。我是真的傻逼。。。

首先每次选择的刀一定,直接一个\(multiset\)就算出来了。
然后对于每关都单独解一个方程
\(atk[i]x+p[i]y=a[i]\),直接\(exgcd\)求解即可。
但是注意题目方程的含义,所以\(x\gt 0,y\le 0\)
所以要解出来之后还需要额外的计算一下(就是这里可能爆\(ll\)...)

那么此时对于每一个方程,我们都得到了一个最小的通解\(X0[i]\)
那么,一个可行解\(X=X0[i]+kd[i]\),其中\(d[i]=p[i]/gcd(p[i],atk[i])\)\(k\)是常数。
考虑如何合并两个解,
\(X0[1]+k_1d[1]=X0[2]+k_2d[2]\)
不妨令\(X0[2]\gt X0[1]\),移项得
\(X0[2]-X0[1]=k_1d[1]+k_2d[2]\)
还是一个\(exgcd\),同时\(k_1\ge 0,k_2\le 0\),还是这里额外算一下,中间值可能爆\(ll\)
然后就可以算出这两个方程合并后的最小特解\(X0\)
那么这两个方程合并后的通解就成了\(X=X0+lcm(d[1],d[2])\)
这样子顺次合并就行了。

至于中间值爆\(ll\)的问题,发现额外计算一下的过程就是一个取模+减法
所以龟速乘解决就好了。
然后无解就是某一步的时候\(exgcd\)无解,直接判就好。

为啥他们都说是拓展CRT,我怎么不知道啊???

这题我的代码写得好乱啊

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<set> using namespace std; #define ll long long #define MAX 100100 inline ll read() {     ll x=0;bool fl=false;char ch=getchar();     while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();     if(ch=='-')fl=true,ch=getchar();     while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-48,ch=getchar();     return fl?-x:x; } int n,m; ll a[MAX],p[MAX],g[MAX],atk[MAX]; ll LCM(ll a,ll b){return (a/__gcd(a,b))*b;} ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {     if(b==0){x=1;y=0;return a;}     ll d=exgcd(b,a%b,y,x);     y-=a/b*x;return d; } namespace Choose {     multiset<ll> S;     multiset<ll>::iterator it,itt;     void Work()     {         for(int i=1;i<=n;++i)         {             it=itt=S.upper_bound(a[i]);             if(it!=S.begin())--itt,atk[i]=*itt,S.erase(itt);             else atk[i]=*it,S.erase(it);             S.insert(g[i]);         }     } } ll X0[MAX],d[MAX]; void init() {     Choose::S.clear();     memset(a,0,sizeof(a));memset(atk,0,sizeof(atk));     memset(g,0,sizeof(g));memset(p,0,sizeof(p));     memset(X0,0,sizeof(X0));memset(d,0,sizeof(d)); } ll Multi(ll a,ll b,ll p) {     ll s=0;     while(b){if(b&1)s=(s+a)%p;a=(a+a)%p;b>>=1;}     return (s+p)%p; } bool Solve() {     ll x,y;     for(int i=1;i<=n;++i)     {         ll D=__gcd(atk[i],p[i]),t,G,bs;         if(a[i]%D)return false;         exgcd(atk[i]/D,p[i]/D,x,y);         G=p[i]/D;t=Multi(x,a[i]/D,G);         if(t==0)t+=G;         x=t;y=(a[i]-atk[i]*x)/p[i];         if(y>0)         {             t=-y;G=atk[i]/D;             t=(t%G+G)%G;bs=(t+y)/G;             y=-t;x+=bs*(p[i]/D);         }         X0[i]=x,d[i]=p[i]/D;     }     for(int i=2;i<=n;++i)     {         if(X0[i]<X0[i-1])swap(X0[i],X0[i-1]),swap(d[i],d[i-1]);         ll c=X0[i]-X0[i-1],D=__gcd(d[i],d[i-1]),G,t,bs;         if(c%D!=0)return false;         exgcd(d[i-1]/D,d[i]/D,x,y);         G=d[i]/D;t=Multi(x,c/D,G);         x=t;y=(c-x*d[i-1])/d[i];         if(y>0)         {             t=-y;G=d[i-1]/D;             t=(t%G+G)%G;bs=(t+y)/D;             y=t;x+=bs*(d[i]/D);         }         X0[i]-=d[i]*y;d[i]=LCM(d[i],d[i-1]);     }     return true; } int main() {     freopen("dragon.in","r",stdin);     freopen("dragon.out","w",stdout);     int T=read();     while(T--)     {         init();         n=read();m=read();         for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();         for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=read();         for(int i=1;i<=n;++i)g[i]=read();         for(int i=1;i<=m;++i)Choose::S.insert(read());         Choose::Work();         if(!Solve())puts("-1");         else printf("%lld\n",X0[n]);     }     return 0; } 

原文:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9351711.html

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