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先说下循环的概念。
记（a1 a2 ^ an）= 为一个循环。循环亦称做轮换。可以认为是a1到an组成了一个环。而一个置换可以写成多个循环的乘积。比如
=（a1a3a6）(a2a4)(a5)。而循环节的长度就是轮换的个数。这里循环节长度为3。
对于循环有一些操作。比如乘上一个[对换]。
定义(a1,b1)为将a循环中的a1元素和b循环中的b1元素交换。则这是一个两元素在不同轮换中的对换。给循环乘上这个对换。即相当于将原来的两个“环”分别在a1和b1处拆开，再连接成一个新的“环”。也就是说，就是这种对换将两个轮换合并成了一个。
反之，如果对换发生在某轮换内部，那么相当于在(a1,ai)处将此环拆开，然后分别合并为了两个新“环”。也就是说，这种对换将轮换分拆为了两个新的轮换。
如果我们记置换群中元素个数为n，循环节长度为a，可以发生的内部对换数为b。则有下列式子成立：
b = n-a。
想到了神马？对了，最小路径覆盖。
实际上，二分图就是一个置换群。上面一排元素为X集，下面一排元素为Y集。在利用二分图求解最小路径覆盖问题的时候，每次增加一个匹配，路径数就会减少一条。也就是说，匹配数+路径条数==顶点个数。如果想要尽量减小路径条数，大家都看得出来要求最大匹配。
类比一下，匹配数即为轮换内对换数，路径条数即为循环节长度，而顶点个数也就是置换群内的元素个数。所以说，此题其实是求置换群中循环节的长度。
还有一个记忆犹新的例子。那就是某个神奇的DP题。
题目大意大概就是一些钥匙分别对应一些门，但是这些钥匙分别放在不同的门里，并且锁起来了（多么悲催~~）。现在你有两条途径得到这些钥匙。要么破坏门，拿出里面的钥匙。要么用之前得到的钥匙去开现在面对的门。求最少破坏的门的数目。
看出来了，对不对？门看做大括号上面一排元素，钥匙看做下面一排。如果出现“钥匙转圈”的现象，那么即形成一个轮换。此题即变为求循环节的长度。
而用dp求解的时候，我们写方程如下：
f[i][j] = min{f[i-1][j-1],(i-1)*f[i-1][j]}。这样，第一个式子是设前面i-1个元素组成一个循环，而后一个式子则是通过给前i-1个元素组成的循环乘上一个两元素分属于不同轮换的对换将它和第i个元素的轮换合并为了一个。
这样，不论是DP还是图论，我们都可以统一地用离散数学的群论来总结和解释。
其实，之前在学习群论的过程中，就隐约体会到了其对于其他领域问题的一些本质解释。比如拓扑排序，比如线性代数。
所以说，虽然有一些抽象而看上去没神马用处的数学理论，其实往往蕴藏着一些更本质的问题。如果深入理解，也一定会有所获益。