Numpy 使用教程--Numpy 数学函数及代数运算
一、实验介绍
1.1 实验内容
如果你使用 Python 语言进行科学计算，那么一定会接触到 Numpy。Numpy 是支持 Python 语言的数值计算扩充库，其拥有强大的高维度数组处理与矩阵运算能力。除此之外，Numpy 还内建了大量的函数，方便你快速构建数学模型。
1.2 实验知识点
- Numpy 数学函数
- Numpy 代数运算
1.3 实验环境
- python2.7
- Xfce 终端
- ipython 终端
1.4 适合人群
本课程难度为一般，属于初级级别课程，适合具有 Python 基础，并对使用 Numpy 进行科学计算感兴趣的用户。
二、数学函数
使用 python 自带的运算符，你可以完成数学中的加减乘除，以及取余、取整，幂次计算等。导入自带的 math 模块之后，里面又包含绝对值、阶乘、开平方等一些常用的数学函数。不过，这些函数仍然相对基础。如果要完成更加复杂一些的数学计算，就会显得捉襟见肘了。
numpy 为我们提供了更多的数学函数，以帮助我们更好地完成一些数值计算。下面就依次来看一看。
2.1 三角函数
首先, 看一看 numpy 提供的三角函数功能。这些方法有：
numpy.sin(x)：三角正弦。numpy.cos(x)：三角余弦。numpy.tan(x)：三角正切。numpy.arcsin(x)：三角反正弦。numpy.arccos(x)：三角反余弦。numpy.arctan(x)：三角反正切。numpy.hypot(x1,x2)：直角三角形求斜边。numpy.degrees(x)：弧度转换为度。numpy.radians(x)：度转换为弧度。numpy.deg2rad(x)：度转换为弧度。numpy.rad2deg(x)：弧度转换为度。
numpy.rad2deg(x)
-
import numpy as np -
np.rad2deg(np.pi)
这些函数非常简单，就不再一一举例了。
2.2 双曲函数
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。双曲函数经常出现于某些重要的线性微分方程的解中，使用 numpy 计算它们的方法为：
numpy.sinh(x)：双曲正弦。numpy.cosh(x)：双曲余弦。numpy.tanh(x)：双曲正切。numpy.arcsinh(x)：反双曲正弦。numpy.arccosh(x)：反双曲余弦。numpy.arctanh(x)：反双曲正切。
2.3 数值修约
数值修约, 又称数字修约, 是指在进行具体的数字运算前, 按照一定的规则确定一致的位数, 然后舍去某些数字后面多余的尾数的过程[via. 维基百科]。比如, 我们常听到的「4 舍 5 入」就属于数值修约中的一种。
numpy.around(a)：平均到给定的小数位数。numpy.round_(a)：将数组舍入到给定的小数位数。numpy.rint(x)：修约到最接近的整数。numpy.fix(x, y)：向 0 舍入到最接近的整数。numpy.floor(x)：返回输入的底部(标量 x 的底部是最大的整数 i)。numpy.ceil(x)：返回输入的上限(标量 x 的底部是最小的整数 i).numpy.trunc(x)：返回输入的截断值。
随机选择几个浮点数，看一看上面方法的区别。
-
>>> import numpy as np -
>>> a = np.array([1.21, 2.53, 3.86]) -
>>> a -
array([ 1.21, 2.53, 3.86]) -
>>> np.around(a) -
array([ 1., 3., 4.]) -
>>> np.round_(a) -
array([ 1., 3., 4.]) -
>>> np.rint(a) -
array([ 1., 3., 4.]) -
>>> np.fix(a) -
array([ 1., 2., 3.]) -
>>> np.floor(a) -
array([ 1., 2., 3.]) -
>>> np.ceil(a) -
array([ 2., 3., 4.]) -
>>> np.trunc(a) -
array([ 1., 2., 3.])
2.4 求和、求积、差分
下面这些方法用于数组内元素或数组间进行求和、求积以及进行差分。
numpy.prod(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的乘积。numpy.sum(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的总和。numpy.nanprod(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的乘积, 将 NaN 视作 1。numpy.nansum(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的总和, 将 NaN 视作 0。numpy.cumprod(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积乘积。numpy.cumsum(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积总和。numpy.nancumprod(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积乘积, 将 NaN 视作 1。numpy.nancumsum(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积总和, 将 NaN 视作 0。numpy.diff(a, n, axis)：计算沿指定轴的第 n 个离散差分。numpy.ediff1d(ary, to_end, to_begin)：数组的连续元素之间的差异。numpy.gradient(f)：返回 N 维数组的梯度。numpy.cross(a, b, axisa, axisb, axisc, axis)：返回两个(数组）向量的叉积。numpy.trapz(y, x, dx, axis)：使用复合梯形规则沿给定轴积分。
下面，我们选取几个举例测试一下：
-
>>> import numpy as np -
>>> a=np.arange(5) -
>>> a -
array([0, 1, 2, 3, 4]) -
>>> np.prod(a) # 所有元素乘积 -
0 -
>>> np.sum(a) # 所有元素和 -
10 -
>>> np.nanprod(a) # 默认轴上所有元素乘积 -
0 -
>>> np.nansum(a) # 默认轴上所有元素和 -
10 -
>>> np.cumprod(a) # 默认轴上元素的累积乘积。 -
array([0, 0, 0, 0, 0]) -
>>> np.diff(a) # 默认轴上元素差分。 -
array([1, 1, 1, 1])
2.5 指数和对数
如果你需要进行指数或者对数求解，可以用到以下这些方法。
numpy.exp(x)：计算输入数组中所有元素的指数。numpy.expm1(x)：对数组中的所有元素计算 exp(x） - 1.numpy.exp2(x)：对于输入数组中的所有 p, 计算 2 ** p。numpy.log(x)：计算自然对数。numpy.log10(x)：计算常用对数。numpy.log2(x)：计算二进制对数。numpy.log1p(x)：log(1 + x)。numpy.logaddexp(x1, x2)：log2(2**x1 + 2**x2)。numpy.logaddexp2(x1, x2)：log(exp(x1) + exp(x2))。
2.6 算术运算
当然，numpy 也提供了一些用于算术运算的方法，使用起来会比 python 提供的运算符灵活一些，主要是可以直接针对数组。
numpy.add(x1, x2)：对应元素相加。numpy.reciprocal(x)：求倒数 1/x。numpy.negative(x)：求对应负数。numpy.multiply(x1, x2)：求解乘法。numpy.divide(x1, x2)：相除 x1/x2。numpy.power(x1, x2)：类似于 x1^x2。numpy.subtract(x1, x2)：减法。numpy.fmod(x1, x2)：返回除法的元素余项。numpy.mod(x1, x2)：返回余项。numpy.modf(x1)：返回数组的小数和整数部分。numpy.remainder(x1, x2)：返回除法余数。
-
>>> import numpy as np -
>>> a1 = np.random.randint(0, 10, 5) -
>>> a2 = np.random.randint(0, 10, 5) -
>>> a1 -
array([3, 7, 8, 0, 0]) -
>>> a2 -
array([1, 8, 6, 4, 4]) -
>>> np.add(a1, a2) -
array([ 4, 15, 14, 4, 4]) -
>>> np.reciprocal(a1) -
array([0, 0, 0, , ]) -
>>> np.negative(a1) -
array([-3, -7, -8, 0, 0]) -
>>> np.multiply(a1, a2) -
array([ 3, 56, 48, 0, 0]) -
>>> np.divide(a1, a2) -
array([3, 0, 1, 0, 0]) -
>>> np.power(a1, a2) -
array([3,5764801,262144,0,0]) -
>>> np.subtract(a1, a2) -
array([ 2, -1, 2, -4, -4]) -
>>> np.fmod(a1, a2) -
array([0, 7, 2, 0, 0]) -
>>> np.mod(a1, a2) -
array([0, 7, 2, 0, 0]) -
>>> np.modf(a1) -
(array([ 0., 0., 0., 0., 0.]), array([ 3., 7., 8., 0., 0.])) -
>>> np.remainder(a1, a2) -
array([0, 7, 2, 0, 0])
2.7 矩阵和向量积
求解向量、矩阵、张量的点积等同样是 numpy 非常强大的地方。
numpy.dot(a,b)：求解两个数组的点积。numpy.vdot(a,b)：求解两个向量的点积。numpy.inner(a,b)：求解两个数组的内积。numpy.outer(a,b)：求解两个向量的外积。numpy.matmul(a,b)：求解两个数组的矩阵乘积。numpy.tensordot(a,b)：求解张量点积。numpy.kron(a,b)：计算 Kronecker 乘积。
2.8 其他
除了上面这些归好类别的方法，numpy 中还有一些用于数学运算的方法，归纳如下：
numpy.angle(z, deg)：返回复参数的角度。numpy.real(val)：返回数组元素的实部。numpy.imag(val)：返回数组元素的虚部。numpy.conj(x)：按元素方式返回共轭复数。numpy.convolve(a, v, mode)：返回线性卷积。numpy.sqrt(x)：平方根。numpy.cbrt(x)：立方根。numpy.square(x)：平方。numpy.absolute(x)：绝对值, 可求解复数。numpy.fabs(x)：绝对值。numpy.sign(x)：符号函数。numpy.maximum(x1, x2)：最大值。numpy.minimum(x1, x2)：最小值。numpy.nan_to_num(x)：用 0 替换 NaN。numpy.interp(x, xp, fp, left, right, period)：线性插值。
三、代数运算
上面，我们分为 8 个类别，介绍了 numpy 中常用到的数学函数。这些方法让复杂的计算过程表达更为简单。除此之外，numpy 中还包含一些代数运算的方法，尤其是涉及到矩阵的计算方法，求解特征值、特征向量、逆矩阵等，非常方便。
numpy.linalg.cholesky(a)：Cholesky 分解。numpy.linalg.qr(a ,mode)：计算矩阵的 QR 因式分解。numpy.linalg.svd(a ,full_matrices,compute_uv)：奇异值分解。numpy.linalg.eig(a)：计算正方形数组的特征值和右特征向量。numpy.linalg.eigh(a, UPLO)：返回 Hermitian 或对称矩阵的特征值和特征向量。numpy.linalg.eigvals(a)：计算矩阵的特征值。numpy.linalg.eigvalsh(a, UPLO)：计算 Hermitian 或真实对称矩阵的特征值。numpy.linalg.norm(x ,ord,axis,keepdims)：计算矩阵或向量范数。numpy.linalg.cond(x ,p)：计算矩阵的条件数。numpy.linalg.det(a)：计算数组的行列式。numpy.linalg.matrix_rank(M ,tol)：使用奇异值分解方法返回秩。numpy.linalg.slogdet(a)：计算数组的行列式的符号和自然对数。numpy.trace(a ,offset,axis1,axis2,dtype,out)：沿数组的对角线返回总和。numpy.linalg.solve(a,b)：求解线性矩阵方程或线性标量方程组。numpy.linalg.tensorsolve(a,b ,axes)：为 x 解出张量方程a x = bnumpy.linalg.lstsq(a,b ,rcond)：将最小二乘解返回到线性矩阵方程。numpy.linalg.inv(a)：计算逆矩阵。numpy.linalg.pinv(a ,rcond)：计算矩阵的（Moore-Penrose）伪逆。numpy.linalg.tensorinv(a ,ind)：计算N维数组的逆。
四、实验总结
数学函数和代数运算方法是使用 numpy 进行数值计算中的利器，numpy 针对矩阵的高效率处理，往往可以达到事半功倍的效果。